高等数学教案 曲线积分与曲面积分
号???????? 称为拉普拉斯算子? 这个公式叫做格林第一公式? ?x2?y2?z2?v??vcos???vcos???vcos?? ?n?x?y?z 证? 因为方向导数
其中cos?、cos?、cos?是?在点(x? y? z)处的外法线向量的方向余弦? 于是曲面积分
?vdS?u(?vcos???vcos???vcos?)dS u???n???x?y?z?? ??v)cos??(u?v)cos??(u?v)cos?]dS? [(u???x?y?z?利用高斯公式? 即得
?vdS?[?(u?v)??(u?v)??(u?v)]dxdydz u???n????x?x?y?y?z?z?? ????u?vdxdydz????(?x?x??y?y??z?z)dxdydz?
???u?v?u?v?u?v将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式?
小结
1.高斯公式及其应用条件；
2. 高斯公式应用的对象。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意高斯公式及其应用条件和对象，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
1. 设 ? 是一光滑闭曲面,所围立体 ? 的体积为V,? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y , ?z ) 的向径r的夹角, r?x2?y2?z2 ，试证
1rcos?dS?V. ???3讲课提纲、板书设计
作业 P236: 1（1）（4）（5）
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§11? 7 斯托克斯公式
斯托克斯公式
定理1 设?为分段光滑的空间有向闭曲线? ?是以?为边界的分片光滑的有向曲面? ?的正向与? 的侧符合右手规则? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在曲面?(连同边界)上具有一阶连续偏导数? 则有
?R??Q)dydz?(?P??R)dzdx?(?Q??P)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?
(????y?z?z?x?x?y?? 记忆方式?
dydzdzdxdxdy????Pdx?Qdy?Rdz?
???x?y?z???PQR三峡大学高等数学课程建设组
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cos?cos?cos????dS?Pdx?Qdy?Rdz?
或 ????x?y?z??PQR其中n?(cos? ? cos? ? cos?)为有向曲面?的单位法向量?
讨论? 如果?是xOy面上的一块平面闭区域? 斯托克斯公式将变成什么?
例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分zdx?xdy?ydz? 其中?为平面x?y?z?1被三
??个坐标面所截成的三角形的整个边界? 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则?
解 设?为闭曲线?所围成的三角形平面? ?在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy ? 按斯托克斯公式? 有
dydzdzdxdxdy???
?zdx?xdy?ydz????x?y?z??zxy ???dydz?dzdx?dxdy???dydz???dzdx???dxdy?3??dxdy ?2?
?3DyzDzxDxyDxy 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I?(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz ?
??其中?是用平面x?y?z?3截立方体? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1的表面所得的截痕? 若从x轴23的上侧被?所围成的部分? ?的单位法向量n?1(1, 1, 1)? 23的正向看去取逆时针方向? 解 取?为平面x?y?z?即cos??cos??cos??1? 按斯托克斯公式? 有 3 I????111333???dS??4(x?y?z)dS? ?x?y?z3???y2?x2z2?x2x2?y2三峡大学高等数学课程建设组
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??4?3dS??233dxdy? ????32?Dxy其中Dxy为?在xOy平面上的投影区域? 于是 I??6Dxy3??9?
dxdy??6???42dydzdzdxdxdy????2(y?z)dydz?(x?z)dzdx?(x?y)dxdy
I???????x?y?z?2?y?z2z2?x2x2?y2cos?cos?cos??????4(x?y?z)?
提示 ? dS?12?12?12dxdy?
?x?y?z3222222y?xz?xx?y I??4(x?y?z)dS??4?3dS??239?
3dxdy??6dxdy??????2??23??3??DDxyxy
小结
1.斯托克斯公式及其应用条件； 2. 斯托克斯公式应用的对象。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意斯托克斯公式及其应用条件和对象，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
课后习题：1
讲课提纲、板书设计 作业 P245: 2（1）（3）（4）
习题课
一、曲线积分的计算法 1. 基本方法
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曲线积分?一类（对弧长）??第???定积分 ??转化二类（对坐标）??第参数方程?用?直角坐标方程(1) 统一积分变量?用?用坐标方程?极(2) 确定积分上下限?
一类：下小上大?第二类：下始上终?第
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;
(5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 二、曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分?一类（对面积）??第???二重积分 ??转化二类（对坐标）??第(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
一类：始终非负?第(2) 积分元素投影?二类：有向投影?第
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面 2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
意公式使用条件?注(2) 利用高斯公式?加辅助面的技巧?添
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化 三．例题分析
1.P246 题 3 (1), (3), (6)，4（1），（3），（4），6，7 2.计算I?(x?y?z)ds，其中?为曲线。
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3.计算I?(x2?y)dx?(y2?x)dy，其中L 是沿逆时针方向以原点为中心，
?L
a 为半
径的上半圆周.
作业：
P246： 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 8
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