第九讲 直线和圆问题 一、直线与圆
（一）直线和圆的位置关系及其特点
1.直线和圆相交：直线和圆有两个公共点. 2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点. 3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点. （二）直线和圆的位置关系的判断
几何法：利用圆心O(a,b)到直线Ax?By?C?0的距离d?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大
小来判断.
代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式??b?4ac来判断.
直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2图形 圆心到直线的距离d ??b?4ac 2（三）相交弦长 1.定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长. 2.求相交弦长的两种方法 几何法：如图，半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________.
代数法：若直线y?kx?b与圆有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则弦长公式AB=_______________________________________________．
或______________________________________________________． 3.相交弦中点求法
几何法：求出经过圆心与相交弦l垂直的直线方程l，则l、l的交点即为相交弦中点． 代数法：联立直线l和圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，其两根分别为
''x1,x2则相交弦的中点横坐标为x0?为中点弦坐标． （四）圆的切线 １.圆的切线条数
x1?x2，再把x0代入直线l的方程求得y0，(x0,y0)即21
点在圆内时：___________；点在圆上时：___________；点在圆外时：____________. 2.圆的切线方程求法
（1）求过圆上一点(x0,y0)的切线方程求法
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系可知切线斜率为k，由点斜式方程求得切线方程.若k?0或k不存在，则由图形可以直接求得切线方程． （2）求过圆外一点(x0,y0)的切线方程求法
几何法：设切线方程为点斜式，由圆心到直线距离等于半径求出斜率k，从而求出切线方程． 代数法：设切线方程为点斜式，将切线方程代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用??0求出k，从而求出切线方程． 3.过圆上一点(x0,y0)的切线方程
（1）经过圆x?y?r上一点P（x0,y0）的切线方程为x0x?y0y?r2. （2）经过圆(x?a)?(y?b)?r上一点P（x0,y0）的切线方程为
222222'(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2.
（3）经过圆x?y?Dx?Ey?F?0上一点P(x0,y0)的切线方程为
22x0x?y0y?Dx0?xy?y?E0?F?0. 222224.切线长：若圆C:(x?a)?(y?b)?r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长
d?(x0?a)2?(y0?b)2?r2.
5.切点弦：过圆C:(x?a)?(y?b)?r外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为：(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2. （五）圆系方程
1.以(a,b)为圆心的圆系方程是_____________________________________.
2.与圆x?y?Dx?Ey?F?0同心的圆系方程是___________________________. 3.过同一定点(a,b)的圆系方程是_________________________________________.
224.过直线Ax?By?C?0与圆x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
22222____________________________________________________________.
5.过两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0,C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系
2222 2
方程是_________________________________________________________.
二、圆和圆
（一）圆和圆的位置关系 圆与圆之间有几种位置关系？ （二）圆和圆的位置关系判断
几何法：设两圆的半径分别为r1,r2，圆心距为d，比较d和r1,r2的大小关系. 代数法：由两个圆的方程组成一个方程组消元化为一元二次方程．根据?来判断. 圆和圆的位置关系 图形 两圆圆心的距离d 内含 内切 相交 外切 外离 ??b2?4ac （三）圆与圆的公共弦 1.两圆的相交弦所在直线方程的求法
设两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0?和C2:x?y?D2x?E2y?F2?0?相交时，?-?得?D1?D2???E1?E2??F1?F2?0?
若两圆相交，方程?表示过两圆交点的直线，即?为经过两圆交点的直线方程. 提示：当两圆相切时?为两圆的公切线方程. 2.公共弦长的求法
代数法：将两圆方程联立，解出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长.
几何法：求出公共弦所在直线方程，求出弦心距，半径，利用勾股定理求出弦长.
三、直线与圆的方程的应用
坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题．
考点一、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系
例1：已知动直线l:y?kx?5和圆C:(x?1)?y?1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？
3
222222
例2：若直线ax?by?1?0与圆x2?y2?1相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是__________.
例3：圆C1:x2?y2?2mx?4y?m2?5?0与圆C2：x2?y2?2x?2my?m2?3?0. 试问m为何值时，两圆（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含；
10(??R,??2??k?,k?z)的位置关系是？ 变式1：圆2x2＋2y2＝1与直线xsinq＋y－＝
变式2：已知点M(a,b)在圆O:x2?y2?1外，则直线ax?by?1与圆O的位置关系是____________.
变式3：已知圆C1:x2?y2?2x?8y?8?0，圆C2:x2?y2?4x?4y?2?0，试判断两圆的位置关系.
练习：
12＝0与?C：－1.直线3x＋4y＋(x1)＋(y－1)＝9的位置关系是__________.
222.直线x?y?1与圆x?y?2ay?0(a?0)有公共点，则a的取值范围是多少？
22
3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( ) A．0或2 C．2
2222B．0或4 D．4
4.圆x?y?2x＝0和x?y+4y?0的位置关系是___________.
5.圆C1：(x?m)2?(y?2)2?9与圆C2：(x?1)2?(y?m)2?4外切，则m的值为多少？
6.判断直线L:(1?m)x?(1?m)y?2m?1?0与圆O：x?y?9的位置关系.
4
22
考点二、直线和圆相交 （一）相交弦长
例1：求直线l:3x?y?6?0被圆C:x2?y2?2y?4?0截得的弦长.
例2：已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y?x?1被圆C所截得的弦长为22，求圆的方程.
例3：直线y?kx?3与圆(x?3)2?(y?2)2?4相交于M,N两点,若MN?23,则k的取值范围是___________________.
变式1：在平面直角坐标系xOy中，直线x?2y?3?0与圆C:(x?2)2?(y?1)2?4交于A,B两点，求AB及?AOB的面积.
变式2：设直线ax?y?3?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a?____________．
22变式3：已知圆M:(x?1)?(y?1)?4，直线l过点P(2,3),且与圆M相交于A,B两
点,AB?23，求.直线l的方程.
练习：
1.直线y?2x?3被圆x?y?6x?8y?0所截得的弦长等于多少？
222.已知圆x?y?2x?2y?a?0截直线x?y?2?0所得弦的长度为4，则
22a?________.
3.直线l过点Q(0,5),被圆C:(x?2)?(y?6)?16截得的弦长为43，求直线l的方程.
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