例4.自动点P引圆x2?y2?10的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2. （1）若k1?k2?k1k2??1，求动点P的轨迹方程；
（2）若点P在直线x?y?m上，且PA?PB，求实数m的取值范围.
变式1：过点?3,1?作圆(x?1)2?y2?1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为___________________________.
变式2：自直线y=x上的点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 .
?APB?60，变式3：由动点P向圆x2?y2?1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则动点P的轨迹方程为 ．
练习
1.过圆x?y?4外一点M(4,?1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A．4x?y?4?0 B．4x?y?4?0 C．4x?y?4?0 D．4x?y?4?0
2.过点C6，－8作圆x＋y＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为( ) A．15
15
B．1 C.
2
D．5
22?()221上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) 3.由直线y＝x＋A．1
C.7
B．22 D．3
2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边 4.从直线l：形PAOB面积的最小值.
11
5.已知?O:x2+y2=1和定点A2,1,由?O外一点P(a,b)向?O引切线PQ,切点为
()Q,且满足PQ=PA.
(1)求实数a,b间满足的等量关系; (2)求线段PQ的最小值.
（四）利用直线和圆的位置关系解决最值问题
例1：已知实数x、y满足方程x2?y2?4x?1?0，
y的最大值和最小值； x（2）求x?y的最大值和最小值；
（1）求
（3）求x2?y2的最大值和最小值.
变式：若实数x,y满足x2?y2?2x?4y?0，则x?2y的最大值为 ． 练习
1.已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0, 求(1)
2.已知实数x,y满足x2+y2=1，则
考点四、圆与圆 （一）圆与圆相切
例1：求与圆x?y?25内切于点（5，0），且与直线3x-4y?5?0也相切的圆方程．
22y的最值；(2)x2+y2的最值；(3)x+y的最值；(4)x?y的最值. xy?2的取值范围为________________. x?1 12
变式：已知半径为1的动圆与圆（x?5)2?(y?7)2?16相切,则动圆圆心的轨迹方程是______________________.
练习：
1.圆M：(x?1)2?(y?1)2?8，圆N的圆心为N(2,2)且与圆M相切，求圆N的方程．
2.求过点A(0,6)且与圆C：x2?y2?10x?10y?0切于原点的圆的方程．
（二）圆与圆相交
例1：求两圆：x2?y2?6x?4y?0及x2?y2?4x?2y?4?0的公共弦所在直线方程和公共弦长.
例2：已知圆C1:x2?y2?6x?7?0与圆C2：x2?y2?6y?27?0相交于A,B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
例3：求过两圆x2?y2?6x?4?0和 x2?y2?6y?28?0的交点，且圆心在直线
x?y?4?0上的圆的方程．
变式1：圆x2?y2?2x?0和x2?y2?4y?0的公共弦所在直线方程为（ ） A.x?2y?0 B. x?2y?0 C. 2x?y?0 D. 2x?y?0
变式2：已知两圆x?y?10x?10y?0和x?y?6x?2y?40?0，则它们的公共弦长为______________.
练习：
1.圆x?y?x?y?2?0和圆x?y?5的公共弦直线方程为________；公共弦长为 . 22222222
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2.已知圆M：x2?y2?10和圆N：x2?y2?2x?2y?14?0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.
考点六、综合拓展（设而不求、对称问题）
例1：已知直线x?2y?3?0交圆x2?y2?x?6y?F?0于点P,Q，O为坐标原点，且
OP?OQ，则F的值为 ．
?3)为?OAB的直角顶点，例2：在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，已知AB?2OA，
且点B的纵坐标大于0.
→
(1)求AB的坐标；
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
例3：已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M、N分别是圆
C1、C2上的动点，P为x轴上的动点,PM?PN的最小值.
变式1：若圆C:(x?3)2?(y?1)2?9与直线x?y?a?0交于A、B两点，且OA?OB，求a的值.
变式2：若圆x2?y2?8和圆x2?y2?4x?4y?4?0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A. x?y?0 B. x?y?0 C. x?y?2?0 D.x?y?2?0 练习
1.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( ) A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
[来[来源: 2.若两圆x?y?16及(x?4)2?(y?3)2?r2在交点处的切线互相垂直，求实数r的值．
22 14
3.已知圆(3-x)2?y2?4和直线y?mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则
OP?OQ的值为____________.
考点七、实际运用
例：有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
变式：如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？
练习：航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面9米，拱圆内水面宽为22米，船只在水面上部高为6.5米,船顶宽4米,故船行无阻.近日水位暴涨了2.7米,船只已不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身.问:船身必须降低多少,才能通过桥洞?
巩固训练
1.直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( ) A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离
2.已知圆x?y?x?2y?2261122，圆(x?sin?)?(y?1)?，其中0????90?，则两1616圆的位置关系为（ ）
A.相交 B．外切 C．内切 D．相交或外切
3.若曲线y?1?x2与直线y?x?b始终有两个交点，则b的取值范围是__________.
4.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于( )
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A．6 B． C．1 D．5
2
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