第二十八讲 投影与视图
【基础知识回顾】 投影：
1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到得影子叫做物体的 其中照射光线叫做 投影所在的平面叫做
2、平行投影：太阳光可以近似地看作是 光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影
3、中心投影：由圆一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做 如物体在 、 、 等照射下所形成的投影就是中心投影 【名师提醒：1、中心投影的光线 平行投影的光线 2、在同一时刻，不同物体在太阳下的影长与物离成
3、物体投影问题有时也会出现计算解答题，解决这类问题首先要根据图形准确找出比例关系，然后求解】 三、视图：
1、定义：从不同的方向看一个物体，然后描绘出所看到的图形即视图 其中，从 看到的图形称为立视图，从 看到的图形称为左视图，从 看到的图形称为俯视图 2、三种视图的位置及作用
⑴画三视图时，首先确定 的位置，然后在主视图的下面画出 在主视图的右边画出
⑵主视图反映物体的 和 ，左视图反映物体的 和 俯视图反映物体的 和
【名师提醒：1、在画几何体的视图时，看得见部分的轮廓线通常画成 线，看不见部分的轮廓线通常画成 线
2、在画几何体的三视图时要注意主俯 对正，主左 平齐，左俯 相等】 三、立体图形的展开与折叠：
1、许多立体图形是由平面图形围成的，将它们适当展开 即为平面展开图，同一个立体图形按不同的方式展开，会得到不同的平面展开图
2、常见几何体的展开图：⑴正方体的展开图是 ⑵几边形的柱展开图是两个几边形和一个 ⑶圆柱的展开图是一个 和两个 ⑷圆锥的展开图是一个 与一个
【名师提醒：有时会出现根据物体三视图中标注的数据求原几何体的表面积，体积等题目，这时要注意先根据三种视图还原几何体的形状，然后想象有关尺寸在几何体展开图中标注的是哪些部分，最后再根据公式进行计算】 【重点考点例析】 考点一：投影
例1 （2012?湘潭）如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（ ） A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
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考点：平行投影．
分析：根据圆柱的左视图的定义直接进行解答即可． 解答：解：如图所示圆柱从左面看是矩形，
故选：B．
点评：本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是根据三视图的概念得出是解题关键． 对应训练 2．（2012?梅州）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是 （写出符合题意的两个图形即可） 考点：平行投影． 专题：开放型．
分析：平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
解答：解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故答案为：正方形、菱形（答案不唯一）． 点评：本题考查了平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行．
考点二：几何题的三视图
例2 （2012?咸宁）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
分析：看哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可． 解答：解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，符合题意；
B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意； C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，不符合题意；
D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，不符合题意； 故选A．
点评：考查三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键．
例3 （2012?岳阳）如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（ ） A．主视图改变，俯视图改变
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B．主视图不变，俯视图不变 C．主视图不变，俯视图改变 D．主视图改变，俯视图不变
考点：简单组合体的三视图．
分析：主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作
出判断．
解答：解：根据图形可得，图①及图②的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯视图改变． 故选C． 点评：此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，难度一般．
对应训练
2．（2012?随州）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：简单几何体的三视图．
分析：分别分析四种几何体的三种视图，再找出有两个相同，而另一个不同的几何体． 解答：解：①正方体的主视图与左视图都是正方形； ②圆柱的主视图和左视图都是长方形； ③圆锥主视图与左视图都是三角形； ④球的主视图与左视图都是圆； 故答案为：D． 点评：本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（2012?宜昌）球和圆柱在水平面上紧靠在一起，组成如图所示的几何体，托尼画出了它的三视图，其中他画的俯视图应该是（ ） A．两个相交的圆 B．两个内切的圆 C．两个外切的圆 D．两个外离的圆
3
考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从上面看所得到的图形即可． 解答：解：从上面可看到两个外切的圆， 故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解决此类问题时既要有丰富的数学知识，又要有一定的生活经验．
考点三：判几何体的个数
例4 （2012?宿迁）如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（ ）
A．2
B．3 C．4 D．5
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可．
解答：解：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4． 故选C． 点评：本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 对应训练 4．（2012?孝感）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．4
B．5 C．6 D．7
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．
解答：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，
4
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个， 所以这个几何体的体积是5． 故选：B． 点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
考点四：几何体的相关计算
例5 （2012?荆州）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个
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密封纸盒的表面积为 cm．（结果可保留根号）
考点：由三视图判断几何体；解直角三角形． 分析：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的
面积．
解答：解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱， ∵其高为12cm，底面半径为5，
2
∴其侧面积为6×5×12=360cm 密封纸盒的侧面积为：
12
×5×6×53=753cm 22
∴其全面积为：（753+360）cm． 故答案为：（753+360）．
点评：本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几
何体． 对应训练
1．（2012?南平）如图所示，水平放置的长方体底面是长为4和宽为2的矩形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于（ ） A．16 B．24 C．32 D．48
考点：简单几何体的三视图．
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