数学建模第二次模拟
题号：C1
组号：152组 CMM HML 组员：贺霆、米占通、李蕾
摘要
由于汽车维修中心资源安排的不合理，一方面使得维修中心成本较高，另一方面浪费了顾客大量的时间 。本文首先建立排队论模型，求得在模型中p0、w、Lq等相关指标；然后从费用的角度考虑再建立排队优化模型，得到人员与设备的最佳安排方案；其次，又建立一个区间估计模型来解决服务车辆完成服务的时间区间，最后综合考虑维修机构的服务成本和顾客满意度分别赋权0.7和0.3建立模型，进一步改善服务台的配置。
问题一，要考虑工作台的利用率即求服务系统的工作强度ρ。首先，通过对数据的处理利用χ2检验得到服务系统的输入过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，在根据题目中的已知条件可知该排队论的类型为M/M/3/N/∞/FCFS。假设维修机构每天8小时工作制，根据处理的数据可得单位时间顾客到达数λ和单位时间服务完的顾客数μ，由???可s?
求得服务台的利用率为0.8310。
问题二，在汽车维修系统中，由于系统的服务台是有限的s=3，所以当需要维修的车辆大于3时，来的车辆就需排队等候。通过该类型排队论的相关指标以及little公式，就可以
求的汽车排队候修的概率p以及等待修理和正在修理的平均水平，候修概率为：
n?s?1?PNn；正接受服务 ?1?(P1?P2?P3?P0)?0.3708 平均等待的顾客数Lq?0.6959的平均顾客数s?2.2400
问题三，通过排队论优化模型建立费用函数 z?c'sst?cwLt?293 而利用率?随
工作每天台服务时间t变动 最后得到关于t的函数求出极小值为最小服务成本
809.1（元）对应的每个服务台每天运行时间t为：4（小时）
问题四：要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间，可找到一个置信度为95%的置信区间，建立满足一定置信度的统计预测模型，利用参数的区间估计方法，根据所给数据，对修理完成的时间区间进行预测。
问题五:我们提出了改进的建议和新建模型综合考虑顾客满意度和服务成本分配权重为0.7（满意度）和0.3（服务成本）建立目标函数
f?0.7d?0.3z 并求出最小值为 1217.98（元）
问题重述
汽车修理是一个随机服务系统，服务对象是各种不同类型汽车，也可以说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客， 服务机构是汽车维修中心或汽车修理点，称为服务员或服务台。
该汽车修理点有三个工作台，共有九个维修技术工人。修理点的排队规则为
顾客到达服务机构时, 若所有服务台都被占用, 则按先后次序单列排队等候服务。服务规则为先到先服务, 即按到达的先后次序接受服务。
该维修点有九名维修技术工人、三个工作台, 根据以往经验，每个服务台每天的服务成本主要包括以下几项: (1)工资300元，(2)餐费30元，(3)房租54元，(4)水电费38元，(5)税收45元， (6)设备折旧费26元，(7)上缴费用100元，(8)设备维修费13元，(9)交通、洗涤、易损工具费等26元。 顾客等待费用的确定比较困难, 它包括停车损失、顾客等待时间长而无法返回的食宿费、车旅费等, 由于各种大小车辆的停车损失不同，顾客离修理点的距离远近不同，但据调查，因汽车故障而造成停车的损失费平均不低于100元/台·天。问题一：通过计算工作台的利用率并分析结果。
问题二：计算汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，并给出你的建议。
问题三：从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。 问题四：作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕。能否根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。
问题五：是否还有其他比较好的改进或者管理建议？ 问题分析
排队服务系统简介：
排队论中常用来衡量服务机构服务水平或强度的数量指标有：
??1í?′??1íμ?′???ó?á1??ó1??ò·t??1??òt?·??ú1?èà￥?1 ?í??ó?μí3ê?òaí?1 ?--- 顾客平均到达率；
2 ?--- 每个工作台的平均服务率；
3 ???/s?--- 系统的服务强度（服务机构的平均利用率）； 4 N--- 汽车修理点系统的最大容量； 5 P0--- 汽车修理点系统的空闲率； 6 Pn--- 汽车修理点系统的状态概率； 7 Wq---顾客平均等待时间；
8 L--- 在汽车维修中心的汽车数量的平均水平，即队长； 9 Lq--- 正在等待修理的汽车数量平均水平，即队列长； 10 s---为正在接受汽车修理服务的顾客数；
11 s——汽车维修点的服务台数此处为（s=3） 根据排队论的相关公式进行统计推断，根据资料建立模型；分析系统处于平衡状态的性态，求出与排队有关的数量指标；同时可以处理第四问的服务系统费用的优化而进行的人员和设备配置问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系
2?统，使之发挥最佳效益。 通过检验法的到顾客输入流服从Possion分布和服
务时间服从负指数分布此根据题目要求可以建立一个 先到先服务 FCFS 系统容
量有限制的多服务台混合制等待模型(M/M/3/N/∞)
从而根据先到先服务 FCFS 系统容量有限制的多服务台混合制等待模型(M/M/3/N/∞)
的经验公式求出汽车维修点的各种数量指标来衡量该汽车维修点的服务效率
问题一要求计算工作台的利用率，即???/s?的值。
问题二要求汽车需排队候修的可能性， 以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，即求顾客来到维修点需要排队等待的概率由下面公式：
可得等候概率为
n?s?1?PNn?1?(P1?P2?P3?P0)?0.3708
问题三属于排队系统最优化问题。汽车修理点每天的费用由三部分组成：（1）单位时间支付所有维修人员和与时间相关的服务台的服务费（含餐费）Q1?c'sS（2）按天计算的每天固定费用费293（3）所有顾客在系统中停留单位时间造成的费用即等待费用Q2?cwL。得费用函数z?Q1?Q2?293?c'ss?cwL（单位时间）其中t是每天每个工作台服务的时间：以小时为单位；以费用函数为主要优化目标，得出总费用的函数关系模型，求其取最极小值，该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。即最优服务台数和每个工作台每天提供服务的时间以及每位工人每天需要工作的时间。
问题四要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间，可找到一个置信度为95%的置信区间，建立满足一定置信度的统计预测模型，利用参数的区间估计方法，根据所给数据，对修理完成的时间区间进行预测。
3. 模型假设
1、假设汽车维修点一天工作8小时制； 2、假设汽车服务系统的服务容量为6； 3、不考虑修车技术的限制，修理设备无故障。
4、汽车在修好后观察结束后均可正常离开，不再占用服务台资源； 5、服务人员的服务质量不因服务人员的态度而改变，不影响汽车等待时间。 6、需要维修的汽车来源是无限的。
4、符号说明
1 ?--- 顾客平均到达率；
2 ?--- 每个工作台的平均服务率；
3 ?--- 系统的服务强度（服务机构的平均利用率）； 4 N--- 汽车修理点系统的最大容量； 5 P0--- 汽车修理点系统的空闲率； 6 Pn--- 汽车修理点系统的状态概率； 7 Wq---顾客平均等待时间；
8 L--- 等待修理的汽车平均水平，即队长； 9 Lq--- 正在修理的汽车平均水平，即队列长； 10 s---为正在接受汽车修理服务的顾客数
问题一：
2?先根据下表：做统计检验法 分析得到输入流泊松分布和服务时间服从负指数
分布
各月份维修中心共提供服务数量（辆）表 2008年 年月日期 8月 9月 10月 11月 12月 1月 2月 3月 2009年 4月 5月 6月 7月 360天 服务总数（辆） 平均每天服务数（辆） 2726272628292526262626287 3 6 0 0 3 6 9 0 6 0 0 8.8.8.8.9.119.8.8.8.8.9 8 9 7 3 .3 1 7 7 6 7 9 3240辆 9辆/天