费用与服务水平关系图
顾客的等待损失费 对于某一确定顾客，其等待损失费为等待一个单位时间的费用与等待队长的期望值乘积。等待一个单位时间损失的费用为定值（比如可以用顾客平均一天的工资来衡量），顾客的满意度可以通过顾客在服务系统花费的总费用来计算，即包含服务费用和顾客的等待损失费，由于该费用可归为只与顾客平均等待时间有关，因此通过平均等待时间的大小便可反映出顾客满意度大小
(2)M/M/c模型中最优的服务台数c 一天内的全部费
z?c'sst?cwLt?293，（10）
?0?t?8,s?3?；这里我们假定cw?100/8?12.5=12-5/人.小时.台 每其约束条件为：天每个工作台服务时间为t小时
为了便于管理和公平起见 假设每个维修工人的维修技术都相同，每天工资相同，假设每个工作台平均分配三个维修工人。 工人工资按天计算；
c's=（工资300元+ 设备折旧费26元+设备维修费13元）/8=42.375
每天每个工作台固定费用（按天计算）：餐费30元+房租54元+水电费38元+税收45元上缴费用100元+交通、洗涤、易损工具费等26元=293（元）；
9 此时??；
t1 ??13m3in?2.21(7台/h)
???3? 3??t 把： L?Lq?s??1?PN?
s?s???Lq???n?s?Pn?P?1??N?s??N?s??1????N?s? 20s!?1???n?s?1?
??s1(s?)sk????s???k!s!?P0???k?0?????1n??s?P0??n!Pn??s?s?nP0??s!n?s????n?s?1?N?1???1??0?n?s??s?n?N?
代入到目标函数即可用MATLAB编程算出费用函数的极小值
其中cs'，为每个服务台每位时间的成本。现在要求z(s?,t)最小，由此有
故得到：
维修中心每天最小服务成本809.1（元），以及假设3个服务台同时运行时每天只需要提供的服务时间为t为：4（小时）
问题四:
模型的分析
由模型一可知，汽车修理服务时间满足了负指数分布。要根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间，只要求出在一定置信水平?下，修车所需要真正时间的所在范围，这样的范围以区间形式给出，即是所谓的置信区间。与未知参数?的点估计相比，区间估计有着明显的优势；它不仅给出了参数真值所在的范围，还给出了该范围包含真值的可信程度。 模型的建立与求解：
根据题目设服务时间这个总体错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。…错误！未找到引用源。是取自X的样本。 则由统计学的知识可得
Y?2?i?1nXi?~?2(2n)，并且分布?2(2n)不依赖于任何未知参数。
设定 错误！未找到引用源。??0.5 利用表二的数据可得
n?X?22P??1??(2n)?2?i???(2n)??1?? （12）
22?i?1??得到错误！未找到引用源。的置信区间
?11?2Xn?, ? （13）????a(n)b(n)??其中
???2(2n) ???12??(2n),ba?22在附表二汽车修理服务时间记录表中，由于样本容量充分大错误！未找到引用源。 则有
2（14） ??(n)?n?2nZ?
代入数据并计算可得
2???0a)?200?2*200Z0.975?160.8 .975(200???2(200)?200?2*200Zb.2 0.0250.025?239由
2Xn2Xn （15） ?????ab其中错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,
得到在可信度为0.95时，服务台修理汽车大致修理完成时间区间为
[1小时46min，2小时28min]
问题五：
根据第三问可知：在维修中心的平均顾客数为2.24(台)这和???=0.8310是对s?应的，验证了此模型的可行性，根据模型假设可知 在8小时工作制的前提下 该维修中心工作台的利用率为83.1% 相对来说较高了。 原模型假设的基础上考虑：只改变营业时间即:8小时制换成24小时营业求出对应的工作台利用率和系统中其他数量指标 5.1： 24小时制下服务系统：
根据数据表和实际情况可知平均每天到维修中心的顾客的数量是基本固定的所以：
利用率???=0.2771 得知24小时制下维修中心工作台的利用率太小导致工3s?作台闲置增加了服务成本，所以24小时制下该维修中心可以减少服务台的数量
模型分析：因为的顾客一般都是在白天来维修中心晚上相对较少 而晚上的时间则是白天的2倍明显可知晚上工作台的利用率会比白天小得多但从费用角度来说维修工人的耗费会比白天多所以24小时制下的维修机构造成的资源浪费比较严重，从利润角度和服务系统的平均服务水平来说都不可取
5.2： 综合考虑顾客满意度和服务成本建立模型
假设顾客满意度占70%的权重 服务成本占30%的权重
顾客的满意度直接影响维修机构的声誉和生意进而影响到维修中心的利润 模型假设：维修中心的技术不变，对于顾客来说一般是等待时间越短顾客月满意 假设顾客满意度下d与等待时间（平均逗留时间）成反比 其比例系数为常数k 即得到目标函数 ：f?0.7d?0.3z
d?k?
k?100/8?12.5
s?s???Lq???n?s?Pn?P?1??N?s??N?s??1????N?s? 20s!?1???n?s?1? Wq?Lq?(1?PN)?
W?Wq?1
z?c'sst?cwLt?293
9 ??
t1 ??13m3in?2.21(7台/h)
???3? 3??t L?Lq?s??1?PN?
?1sN??s1?(s?)k????s????n?s??s!n?s?1?k?0k!? P0????s?11k(s?)s??k!?s??s!?N?s??k?0???1?
???1?
?1?s??nP0?n! Pn???s?s?nP0??s!?0?n?s??s?n?N? 用数学工具MATLAB可以求得maxf=1217.98
六：模型的评价与改进
第五问中的f?0.7d?0.3z 满意度d没有量化处理 从而无法准确给出顾客的满意度
模型的优点：采用8小时工作制可以得到较高工作台的利用率，并给较为准确的给出该排队系统的各项数量指标 模型缺点：对于满意度的指标给的很模糊，基于做题比较匆忙没有深刻研究满意度的量化函数
七：参考文献
[1]韩忠庚.实用运筹学.北京.清华大学出版社[M].2007
[2]覃志奎.基于银行排队问题的数学模型及求解[J].广西,河池2006年第3期. [3]杨米沙,易昆南.基于排队过程的银行柜台设置优化探讨[J].2009年9月,第36卷第5期.
附录：
第三问的程序： clear syms x for m=1:3 c=m; p0=0;
for i=0:c-1;
p0=p0+(c*(1/(0.739*x)))^i/factorial(i); end
p0=p0+c^c/factorial(c)*((1/(0.739*x))^(c+1)-(1/(0.739*x))^7)/(1-(1/(0.739*x)));