Eb、Ebt---- 材料在室温和设计温度下的弹性模量，MPa; ζt----经向（子午向）总应力范围，MPa; ζt=0.7(ζ3+ζ4)+ζ5+ζ6 以上介绍的疲劳寿命计算式，适用于425℃以下未经热处理的奥实体不锈钢波纹管疲劳寿命的计算，循环次数的有效范围是103--105周次。 5. 波纹管的自振频率与共振防治
在膨胀节工程应用中，当波纹管的自振频率和系统中的任一振动频率相同或相近时，就会产生共振。这样，一方面使波纹管的寿命大大降低，另一方面将引起容器、管道和法兰等应力集中和残余应力较大部位的泄漏和疲劳断裂。因此，研究波纹管的自振频率，合理地进行工程计算，使之与系统振动频率隔开，以防止发生共振，是十分必要的。
5.1 波纹管的自振频率计算
膨胀节在实际使用中，大多为水平或垂直于地面安装，可能使波纹管承受横向(梁型)振动和轴向(手风琴型)振动，其自振频率应分别加以计算。 (1) 轴向自振频率计算
当将波纹管简化为离散力学模型，即把波纹管的全部质量分割为有限个质点，在两端固支的边界条件下，可推得其轴向自振频率为: fi′=Ci√Kx/G HZ (45)
式中Ci为常数，可根据波纹管的波数N从表1查取;Kx和G分别为波纹管的轴向总刚度(N/mm)和重量(N);i为频率阶数，i=1，2，32……
当将波纹管视作质量连续均布，根据不同的边界约束条件，可分别求得波纹管的轴向自振频率计算公式:
①两端固支时 fi′=49.5i√Kx/G HZ (46)
②一端固定，另一端自由时，fi′=49.5（i-1/2）√Kx/G HZ (47) ③一端固定，另一端具有重物（重为W0,N）时，
fi′=15.76βi√Kx/G HZ (48) 式中βi，可按下列方法求取：βitgβi=a (49)
βi=(i-1)π+εi (50)
先求出a值，a=G/W0,在将式（50）代入式（49），经过试差渴求的任意频率阶数的εi （0＜εi＜π/2，i=1,2,3,……）；然后从式（49）相应频率阶数的βi 。 （2）横向自振频率计算
将波纹管简化为质量连续均布的直管，可推出在两端故知边界条件下的横向自振频率为：fi′=Ci(Dm/L)√Kx/G HZ (51)
式中：Ci为常数，在1-5阶频率时，Ci分别为124.63，343.55，673.53，1113.28，1663.13；Dm为波纹管平均直径（mm），Dm=D0+h，其中D0、h分别为波纹管波根外径和波高（mm），L为波纹管长度，L=Nq+2L1,其中q和L1分别为波纹管的波距和端部直边端长度（mm），见图45。
在式（45）-（48），（51）的自振频率计算公式中，为减小自振频率理论计算值与实测值之间的差异，波纹管的轴向刚度Kx应尽量采用相应振动状态下波纹管的实际
刚度值。若实际刚度值不知道，则可用下列公式进行计算: Kx=1.7EDmδmm/hnCf N/mm (52) 式中 Et--波纹管材料在工作温度下的弹性模量(N/mm2) δm--成型减薄后的波纹管一层材料厚度， δm=δ(D0/Dm) (mm); δ--波纹管一层的名义厚度(mm); m--波纹管厚度为\δ\的层数; Cf--系数。
此外，对于波纹管的重量G，当管内为气体介质时，因重量较小，在计算轴向和横向自振频率时可忽略，只计算波纹管材料的重量，即：
G=G1=2πNγmδm[B12-B22+π(B1r1+B2r2)+2(r12-r22)]+2γπ(R2+R1)L1mδm N (53) 当波纹管内为液体介质时，液体介质的重量对自振频率影响较大，应予计入。对于轴向自振频率的计算应包括各波之间的液体重量G2，即整个波纹管内的液体重量减去管内径以内的液体重量，因此:
G=G1+G2=G1+Nγ′π[B12(2r1-mδm)+(π/4)B1(2r1-mδm)2
+(1/6)(2r1-mδm)3+B22(2r2+mδm)3-(π/4)B2(2r2-mδm)2 +(1/6)(2r2-mδm)3 -R22q ] N (54)
对于横向自振频率的计算，则应计入整个波纹管内液体的重量G3，即： G=G1+G3=G1+G2+LπR2γ′ N (55) 式（53）-（55）中：
γ、γ′--分别为波纹管材料和管内液体的单位体积重量（N/mm）; r1、r2--为波峰、波谷圆弧中间面半径 (mm)； B1=R1-r1-(mδm)/2,R1为波纹管外半径(mm),R1=D0/2+h; B2=R2+r2+(mδm)/2,R2为波纹管外半径(mm),R2=D0/2-mδm;
5.2 设置波纹管管系的防振
3
2
0.5
t
3
3
当在压缩机、真空泵和柴油机等的管道系统中设置膨胀节时，管路设计应使机器的檄发频率、管道内的气柱固有频率、管系结构的固有频率和波纹管的自振频率不相重合。在盲目配管时，有可能使以上某几种频率相等或相近，此时，管系将发生强烈地振动。 对机器激发频率可按下式求取:fj=Mn/60 HZ (56)
式中，n为机器曲轴转速 (rpm);M为在曲轴一转内，在管道的一个端口处，向管道排气或者吸气的次数。如单缸单作用时，M=l:单缸双作用时，M=2。
有关气柱一端开口，一端闭口情况的固有频率，在声学里己作了完善的研究，可用下式计算：fgi=(i-0.5)C/2L HZ (57)
式中i为频率阶数，i=1，2，32……;L为气柱长度，通常也就是管道长度（m）;C为气体的声速（m/s），C=√KgRT ,其中K为绝热指数，空气为1.4；g为重力加速度9.8(m/s2) ,R为气体常数，空气为29.3，T为绝热温度(°K) 。 由式（56）和（57）可得到气体发生共振式应有如下关系： fj=fgi=(i-0.5)30C/(Mn) m (58)
若取fj=（0.8-1.2）fgi作为共振区，则共振管长相应的范围值为： L=(0.8-1.2)(i-0.5)30C/(Mn) m (59)
采用同样的方法，根据fi′=fj,fi′=(0.8-1.2)fgi 的共振条件，从式（45）或式（46）、式（47）、（48）和式（56）、（57）可分别推得波纹管轴向与机器以及气柱发生共振时的Kx--n,L--Kx关系式： ① 波纹管两端固支时
Kx=G(Mn/60Ci)2 N/mm (60) L=(0.8-1.2)(i-0.5)(C/2Ci)√G/Kx m (61) 或 Kx=G(Mn/2970i) N/mm (62) L=(0.8-1.2)(i-0.5)(C/99i)√G/Kx m (63) ②波纹管一端固定，另一端自由时
Kx=G[(Mn/2970(i-0.5)]2 N/mm (64) L=(0.8-1.2)(C/99)√G/Kx m (65)
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③波纹管一端固定，另一端具有重物时
Kx=G[(Mn/945.6βi] N/mm (66)
L=(0.8-1.2)(i-0.5)(C/31.55βi)√G/Kx m (67)
关于管系结构的固有频率，在管道的设计阶段，可根据具体管路、支承等情况进行计算，具体计算方法可查阅有关文献。
综上所述，为防止波纹管及管系发生共振，在设计时应注意到:
(1)由于机器的转速n通常为一定值，一般不会改变，为使其激发频率与波纹管的自振频率不相重合，波纹管的刚度值应大于或小于由式 (60)或 (62)、式 (64)、(66)的计算值。波纹管的刚度值，尤其是当波纹管作为消振元件使用时，应尽量取其相应工况下的实测值，从而使自振频率的计算值较为精确。必要时，对批量生产的波纹管可进行抽样刚度测试。
试验情况证明，通过调整波纹管的预变形量使其刚度值发生变化，从而可适当改变其自振频率值，但应注意波纹管其它力学性能的变化，并且在设计阶段不作这样的考虑。 (2)为了避免气性的固有频率与机器的激振频率及波纹管的自振频率重合而发生共振，配管长度L不应落在由式(59)、式(61)、或 (63)式(65)和(67)计算得出的范围内。 (3)对于管系结构的固有频率，也应与系统中的其它振动频率错开，当结构固有频率与机器激振频率相同或相近时，用增添管道支承的方法，能显著地改变管道机械固有频率，从而避免与激振力形成共振。同时结构固有频率也不应与波纹管的自振频率和气柱固有频率重合，若出现上述情况，可通过改变波纹管的刚度 Kn和改变配管长度L，以及增添管道支架等方法，使它们相互错开，避免共振。
(4)金属波纹管可以在高频率和低振幅的振动场合下使用，但不适合于低频率和高振幅的振动场合。
由于压力脉冲会通过流动介质传递到波纹管以外的地方去，因此，当系统的振动是由压力脉冲引起时，是不能用设置波纹管来消除的。同时，如果管道振动是由于过大的压力脉冲引起的，那么，采用增添管道支承和捆绑加固的方法也是不行的。在这种情况下，可考虑装设缓冲器和减振器等，使高振幅低频率振动转换成为不太剧烈的较高频率
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