3．肯德尔等级相关 （1）肯德尔W系数
也叫肯德尔和谐系数，原始数据资料的获得一般采用等级评定法，即让K个被试对N件实物进行等级评定。其原理是评价者评价的一致性除以最大变异可能性。
W??R2i???Ri?N2123K?N?N?12
Ri：评价对象获得的K个等级之和， N：等级评定的对象的数目， K：等级评定者的数目。
（2）肯德尔U系数#
其与肯德尔W系数所处理的问题相同，但评价者采用对偶比较法，即将N件事物两两配对分别进行比较。
U?8??rij?K?rij2N(n?1)?K(K?1)??1
rij为对偶比较记录表中i>j格中的择优分数。 4．点二列相关与二列相关 （1）点二列相关
适用于一列数据为等距正态变量，另一列为离散型二分变量。
rpb?Xp?Xqst?pq
Xp是与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数 Xq是与二分称名变量的另一个值对应的连续变量的平均数
p与q是二分称名变量两个值各自所占的比率， st是连续变量的标准差 （2）二列相关
适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列变量被人为地分成两类。
Xp?Xqpq rb??styy为标准正态曲线中p值对应的高度，查正态分布表能得到 5．Ф相关
适用于两个变量都是只有两个点值或只表示某些质的属性。
r??ad?bc?a?b??a?c??b?d??c?d?
其中a、b、c、d分别为四格表中左上、右上、左下、右下的数据
6
二、推断统计
推论统计就是指运用一系列的数学方法，将从样本数据中获得的结果推广到样本所在的总体。进行推论统计的关键在于所抽取的样本要能够尽量接近所要研究的总体。
（一）推断统计的数学基础
1．概率
概率：表明随即时间出现可能性大小的客观指标。
概率的定义包含以下两种，当观测次数够多时他们是相等的。
后验概率：对随机事件进行n次观察，某一事件A出现的次数m与观测次数n的比值在n趋近无穷时所稳定在的常数p 。
先验概率：在满足试验可能结果数有限且每一种结果出现的可能性相等的条件下，随机事件包含的结果数除以结果总数。 2．正态分布
当样本量足够大时，我们会发现生活中许多变量的分布都近似于正态曲线，因此有“上帝偏爱正态分布”一说。 （1）特点
①正态曲线的形状就像一口挂钟，呈对称分布，其均值、中数、众数实际上对应于同一个数值。 ②大部分的原始分数都集中分布在均值附近，极端值相对而言比较少。 ③曲线两端向靠近横轴处不断延伸，但始终不会与横轴向交。
④正态分布曲线转化为z分数后人以z分数与零点对应曲线下面积固定。 （2）用法
①依据Z分数求概率，即已知标准分数求面积。 ②从概率求Z分数，即从面积求标准分数值。 ③已知概率或Z值，求概率密度，即正态曲线的高。 3．二项分布
二项分布：对于一个事件有两种可能A和B，但我们对这一事件观察n次，事件A发生的总次数的概率分布就是二项分布
二项分布的均值为? 方差公式为?4．抽样原理与抽样方法 （1）抽样原理
抽样的基本原则是随机性原则，所谓随机性原则，是指在进行抽样时，总体中每一个个体是否被抽选的概率完全均等。由于随机抽样使每个个体有同等机会被抽取，因而有相当大的可能使样本保持和总体有相同的结构，或者说，具有最大的可能使总体的某些特征在样本中得以发现，从而保证由样本推论总体。 （2）抽样方法 ①简单随机取样法 ②系统随机取样法 ③分层随机取样法 ④多段随机取样法
7
2?pn
?npq 标准差的公式为??npq 5．抽样分布
样本分布：样本统计量的分布，是统计推论的重要依据。 （1）正态分布及渐近正态分布
样本统计量为正态分布或者接近正态分布的情况都可根据正态分布的概率进行统计推论。 总体分为正态或接近正态，方差已知，样本平均数和方差的分布为正态分布 ①样本平均数分布的平均数和方差与母体的平均数和方差有如下关系：
?X?????X?2X?2n
?n②样本的方差及标准差的分布也渐趋于正态分布，其分布的平均数与标准差和总体有如下关系：
Xs??Xs2??2
（2）t分布
?s??2n?s2??2
2nt分布是一种与方差无关而与自由度有关的分布，很类似正态分布，我们可以将正态分布看作t分布当自由度为正无穷时的特例。
总体分布为正态，方差未知时，样本平均数的分布为t分布：
?X?
sn?1n 其中sn?1?SS n?1（3）χ2分布
χ2分布的构造是从一个服从正态分布的总体中每次抽去n个随机变量，计算其平方和之后标准化的一个分布。分布曲线下的面积都是1，但伴随着n取值的不同，自由度改变，曲线分布形状不同，而当自由度趋近于正无穷时χ2分布即为正态分布，因此其于t分布一样都是一族分布，而正态分布都是其中的特例。
?2?（4）F分布
??X????22
如果有两个正态分布的总体，我们从其中各自取出两个样本，各自计算出χ2，则：
?12F?2?2df1df2
更多情况下，我们所计算的F两样本取自相同总体，此时可将上式化简为：
F?2sn1?1s8
2n2?1
（二）参数估计
当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过这组信息，对总体特征进行估计，也就是如何从局部结果推论总体的情况，称为总体参数估计。总体参数估计问题可以分为点估计与区间估计。 1．点估计、区间估计与标准误 良好估计量的标准
①无偏性——用多个样本的统计量估计总体参数的估计值，其偏差的平均数为零。
②有效性——当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即方差越小越好。
③一致性——当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数。 ④充分性——样本的统计量是否充分地反映了全部n个数据所反映总体的信息。
点估计：用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计结果也以一个点的数值表示。
区间估计：根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围，
这个区间就叫做置信区间，相应的概率成为置信度，这两个量是共通变化的，置信区间越大，置信度越高； 区间估计是用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围及落入该范围的概率。
标准误：样本平均数分布的标准差
总体方差未知时用估算的总体方差计算标准误。
?X?
2．总体平均数的估计
?n
x?Z??X???x?Z??X
22当总体方差未知时，则使用t分布对应置信度
3．标准差与方差的区间估计 （1）标准差的区间估计
sn?1?Z??s???sn?1?Z??s
22
（2）方差的区间估计
?n?1?sn2?1??2??n?1?sn2?1
2??2??21???2
9
（三）假设检验
可以说，每一个实验的存在，仅仅是为了给事实一个反驳虚无假设的机会。 ——R.A.Fisher 1．假设检验的原理
假设检验：统计学中的一种推论过程，通过样本统计量得出的差异作为一般性结论，判断总体参数之间是否存在差异。
假设检验的实质是对可置信性的评价，是对一个不确定问题的决策过程，其结果在一定概率上正确的，而不是全部。 （1）两类假设
对于任何一种研究而言，其结果无外乎有两种可能,即是否符合我们预期。一般来说证伪一件事情比证实一件事容易，在行为科学的研究中，由于我们无法了解总体中除样本以外的个体情况，因此尝试拒绝虚无假设的方法优于证明备择假设。
备则假设：因变量的变化、差异却是是由于自变量的作用 往往是我们对研究结果的预期，用H1表示。
虚无假设：实际上什么也没有发生，我们所预计的改变、差异、处理效果都不存在 观察到的差异只是随机误差在起作用，用H0表示。 （2）小概率原理
小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。
至于什么就算小概率事件，那就是我们在计算前明确的决策标准，也就是显著性水平α。在检验过程中，我们假设虚无假设是真实的，同时计算出观测到的差异完全是由于随机误差所致的概率。之后将其与我们实现界定好的显著性水平比较，从而考虑是否依据小概率原理来拒绝虚无假设。 （3）两类错误
（本部分内容请参照实心信号检测论对照来看。 ——MJ注）
Ⅰ型错误：当虚无假设正确时，我们拒绝了它所犯的错误，也叫α错误。
研究者得出了处理有效果的结论，而实际上并没有效果，即所谓“无中生有”。 Ⅱ型错误：当虚无假设是错误的时候，我们没有拒绝所犯的错误，也叫β错误。 假设检验未能侦查到实际存在的处理效应，即所谓“失之交臂”。 两类检验的关系 ①α+β不一定等于1
②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大 （4）检验的方向性
单侧检验：强调某一方向的检验，显著性的百分等级为α
双侧检验：只强调差异不强调方向性的检验，显著性百分等级为α/2
对于同样的显著性标准，在某一方向上，单侧检验的临界区域要大于双侧检验，因此如果差异发生在该方向，单侧检验犯β错误的概率较小，我们也说它的检验效力更高。 （5）假设检验的步骤
①根据问题要求，提出虚无假设和备择假设 ②选择适当的检验统计量
③确定检验的方向性并规定显著性水平 ④计算检验统计量的值
⑤将统计量的值与临界值对比做出决策
10