2．样本与总体平均数差异的检验 （1）总体正态分布且方差已知
zobs?X??0?X其中?X??0n
?0和?0分别为总体的平均数和方差。
（2）总体正态分布而方差未知
tobs?X??0sX其中sX?Sn而S?SS n?1S为用样本和方估算出的总体方差。
3．两样本平均数差异的检验
Zobs?tobs?X1?X2?DX这是两样本平均数检验的通用公式，所不同的仅在于标准误的计算
（1）总体方差已知 ①独立样本
?DX?②相关样本
?12n1?2?2n2 ?DX?
2?12??2?2r?1?2n其中r为两组变量之间的相关系数
（2）总体方差未知
①独立样本(方差差异不显著时)
?DX?2n1s12?n2s2n?n?12n1?n2?2n1n2
②相关样本
a.相关系数未知：?DX??d2???d?n2n?n?1?其中d为每一对对应数据之差
b.相关系数已知：?DX
2s12?s2?2rs1s2?n?1 11
4．方差齐性检验
（1）样本方差与总体方差
当从正态分布的总体中随机抽取容量为n的样本时，其样本方差与总体方差比值服从χ2分布：
??2ns2?20由自由度df?n?1查χ2表，依据显著性水平判断
（2）两个样本方差之间 ①独立样本
F?2s大2s小其中当两样本自由度相差不大时可用sn代替sn-1
查表时df1?n1?1,df2?n2?1
②相关样本
t?2s12?s24ss?1?r22122?其中df?n?2
n?25．相关系数的显著性检验 ①积差相关 a.当ρ=0时：t?r1?rn?22其中df?n?2
b.当ρ≠0时：先通过查表将r和ρ转化为费舍Zr和Zρ然后进行Z检验。
Z?Zr?Z?1n?3
②等级相关和肯德尔W系数
在总体相关系数为零时：查各自的相关系数表，判定样本相关显著。
（四）方差分析
1．方差分析的原理与基本过程 （1）方差分析的概念
方差分析的目的是推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了Ⅰ型错误的概率。我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
（2）方差的可分解性
方差分析依据的基本原理就是方差的可加性原则。作为一种统计方法，方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。数据的变异由两部分组成：
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组内变异：由于实验中一些希望加以控制的非实验因素和一些未被有效控制的未知因素造成的变异，如个体差异、随机误差。
组内变异是具体某一个处理水平之内的，因此在对总体变异进行估计的时候不涉及研究的处理效应。 组间差异：不仅包括组内变异的误差因素，还包括了是不同组所接受的实验处理不同造成的影响 如果研究数据的总变异是由处理效应造成的，那么组间变异在总变异中应该占较大比例。
MSB表示组间方差，MSB?SSBdfBSSWdfW，dfB?k?1，k表示实验条件的个数
MSW表示组内方差，MSW?（3）方差分析的基本假定
，dfW?k?n?1?，n表示每种实验条件中的被试个数
①样本必须来自正态分布的总体
②每次观察得到的几组数据必须彼此独立 ③各实验处理内的方差应彼此无显著差异
为了满足这一假定，我们可采用最大F比率法Fmax通过查表判断。
（4）方差分析的基本步骤 Ⅰ 求平方和
①总平方和是所有观测值与总平均数的离差的平方总和 SST22??X?G2smax?2smin，求出各样本中方差最大值与最小值的比，
?N?其中G表示所有数据的总合，N表示总共的数据个数
②组间平方和是每组的平均数与总平均数的离差的平方再与该组数据个数的乘积的总和
22???TiG? SSB??niX?G?niN，G为数据总均值，Ti为每组数据和，ni为该组??????2数据个数
③组内平方和是各被试的数值与组平均数之间的离差的平方总和 SSW??SSi
?SSB?SSW推荐用于检验之前的计算，而不是被当作快捷计算的方式）
（注：SST
Ⅱ 计算自由度
dfT?N?1dfB?k?1dfW?k?n?1??N?k
Ⅲ 计算均方 MSB
?SSBdfB MSW?SSWdfW
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Ⅳ 计算F值 F?MSBMSW
Ⅴ 查F值表进行F检验并做出判断 Ⅵ 陈列方差分析表 2．完全随机设计的方差分析
陈述假设 确定显著水平 确定检验自由度 确定F临界值 计算F观察值 比较F值得出结论 3．随机区组设计的方差分析
随机区组设计中同质被试参加所有水平下测试，因此，组间变异不包括个体差异的影响。而每一个水平之内仍然是由不同被试共同完成的，于是我们仍然将总体变异分为组间变异和组内变异，但需要进一步将组内变异分为被试间变异和误差引起的变异。
这样，我们就可以在F检验时，将被试间变异从组内变异中去除，使得检验结果更灵敏。
总差异 组内差异 组间差异 个体差异 随机误差
个体误差用SSR表示，而随机误差用SSE表示，它们的和等于组内差异SSW
F?MSBMSEn其中MSE?SSEdfE2而SSE?SSW?SSR；dfE??k?1??n?1?
SSR??i?1??R?k2?G或者同一被试在不同处理下的乘积的和
N其中?R为同一区组的数据之和，
让我们回忆一下两个相关样本平均数假设检验，可以发现那里出现的情况和这里的多样本方差分析相仿。也就是说，对于同样的实验数据，当我们把它看作是由独立样本得出或相关样本得出时，就要采用不同的检验方法，从而有可能得出不同的结论。在假定为相关样本的数据得出的显著性差异如果换作背景是独立样本就可能只能接受虚无假设。这实际上是因为相关情况下样本之间差异的减小使得对应检验要使用的统计量变大，检验也就更加灵敏了。
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4．两因素方差分析
在两因素实验设计中，研究者同时用两种影响因素作为自变量研究它们对某一因变量的影响，其实验结果比单因素设计更实际。 （1）交互作用与主效应
主效应：某个自变量的不同水平对因变量所造成的影响的差异。 交互作用：一个因素对因变量的影响因另一个因素的不同水平而不同。
如果两个因素彼此独立，即不管其中一个因素处于哪个水平，另一个因素的不同水平均值间的差异都保持一致，则不会产生交互作用。
（2）统计原理
为了看清各因素独立作用和交互作用的影响，我们进一步将组间差异分解：
SSB?SSa?SSb?SSa?b
其中SSa与SSb分别表示a因素与b因素的组间平方和，SSa?b表示交互作用的平方和
dfa?a?1；dfb?b?1；dfa?b??a?1??b?1?；dfW?N?a?b
（3）F的计算（这里讨论独立样本）
Fa?MSaMSWMSbMSW其中MSa?SSadfaSSbdfb?这里的SSa是假定全体数据只根据a因素分为两组所计算的组间差异
Fb?其中MSb?这里的SSb也同样为假设只根据b因素分组所计算的组间差异
Fa?b?MSa?bMSW其中MSa?bSSa?b这里的SSa?b为总体组间差异减去SSa和SSb得到 dfa?b5．事后检验
由方差分析只能得到显著差异的结果，事后检验使我们能够比较各组，发现差异具体产生在什么地方。事后检验采用成对比较的方式，每次比较两个组的差异。 HSD检验法
Ⅰ 把要比较的各个平均数从小到大作等级排列
Ⅱ 处理条件的数目k，自由度dfE查表得到相应显著性的q值 Ⅲ 计算作为临界值的HSD?qMSWn（当为随机区组时用MSE代替MSW）
Ⅳ 把要比较的两个平均数的差与临界值比较，若超过则认为差异显著
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