【分析】（Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；
（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点， ∴BD⊥AC， 由AB=6可知，∴
．
，
又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6， ∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6， ∴
． …
（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC， ∴A1A⊥BD． 又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC1A1． 又BD?平面BC1D，
∴平面BC1D⊥平面ACC1A1． … （Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，
在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点， 所以OD∥AB1， 又OD?平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D． …
【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．
20．已知等差数列{an}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{bn}的前n和为Sn，且满足Sn=2bn﹣2．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）数列{cn}满足，求数列{cn}的前n和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列{an}的通项；利用“bn+1=Sn+1﹣Sn”及“b1=2b1﹣2”，可得公比和首项，进而可得数列{bn}的通项；
（Ⅱ）利用式即得结论．
=
，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a1+a2+a3=9，∴3a2=9，即a2=3， ∵a2+a8=18，∴2a5=18，即a5=9， ∴3d=a5﹣a2=9﹣3=6，即d=2， ∴a1=a2﹣d=3﹣2=1，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； ∵Sn=2bn﹣2，
∴bn+1=Sn+1﹣Sn=2bn+1﹣2bn， 即bn+1=2bn，
又b1=2b1﹣2，∴b1=2，
∴数列{bn}是以首项和公比均为2的等比数列，
n﹣1n
∴bn=2?2=2；
n
∴数列{an}和{bn}的通项公式分别为：an=2n﹣1、bn=2； （Ⅱ）由（I）知
=
，
∴Tn=+
+…+，
∴Tn=
++…++，
两式相减，得Tn=+
++…+﹣
=+﹣
=﹣，
∴Tn=3﹣
．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．已知椭圆
=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4
，离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=
，得，
离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为
，即
，把其与椭圆的方程联立，求出弦长
为
△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高
，然后用基本不等式求最值．
【解答】解：（1）由条件得：，解得，
所以椭圆的方程为（2）设l的方程为
，点A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得x+2mx+2m﹣4=0．
22
令△=4m﹣8m+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得则由弦长公式得|AB|=又点P到直线l的距离
?
，
=
?
．
22
．
∴
2
，
当且仅当m=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．
【点评】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．考查分析问题解决问题到哪里．
22．已知函数f（x）=ax+bxlnx，若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2． （1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[，e]上的单调区间和最值； （3）若存在实数m∈[﹣2，2]，函数g（x）=
x﹣（2m+n）x在（1，e）上为单
3
3
2
调减函数，求实数n的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）由题意利用导数的几何意义可得，解得a，b即可．
（2）利用导数的运算法则可得f′（x）．令f′（x）=0，解得x． 分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0，列出表格即可得出其单调区间及其最值． （3）求出g′（x），由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，可得：g′（x）≤0恒成立，即2m+n≥2xlnx．于是
2
2
．可得n≥﹣2m+2e．由存在实数m∈[﹣
2
2，2]，使得上式成立，可得n≥（﹣2m+2e）min，即可得出n的取值范围．
2
【解答】解：（1）f′（x）=3ax+2bxlnx+bx，（x＞0）． ∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2， ∴
∴f（x）=2xlnx．
（2）由（1）可知：f′（x）=4xlnx+2x=2x（2lnx+1），令f′（x）=0，解得?? x ．
2
，解得，
0 + f′（x） ﹣ f（x） 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：f（x）在[，e]上的单调递增区间为最小值为又
=
=﹣，
，f（e）=2e，故最大值为2e．
2
2
，单调递减区间为．
（3），
2
由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，∴g′（x）≤0恒成立，即2xlnx﹣（2m+n）≤0，
2
∴2m+n≥2xlnx． ∴
2
．
∴n≥﹣2m+2e．
22
∵存在实数m∈[﹣2，2]，使得上式成立，∴n≥（﹣2m+2e）min=﹣4+2e，
2
∴n的取值范围是[﹣4+2e，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能，属于难题．