四、滤波原理
滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波的作用。对下图所示的线性时不变系统，其时域输入输出关系为：
y(n)?x(n)?h(n)
x(n) h(n) y(n) 图 线性时不变系统示意图
若x(n)、y(n)的Fourier变换存在，为X(ej?)和Y(ej?)，则输入和输出的关系为：
Y(ej?)?X(ej?)H(ej?)
式中H(ej?)为系统的频率响应。
j?j?再假定 x(n)的Fourier变换的振幅X(e)可用图（a）表示，系统幅频响应H(e)用
图（b）表示，则滤波器输出y(n)的频谱Y(ej?)用图（c）表示。
H(ej?)X(ej?)0?c(a)??c0?c(b)??cY(ej?)0?c(c)??c
图 滤波器滤波示意图
这样，x(n)通过系统h(n)的结果是使输出 y(n)中不再含有???c的频率成分，而使 ???c的成分“不失真”地通过。因此设计不同形状的H(ej?)可以得到不同的滤波结果。
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若滤波器的输入、输出都是离散的时间信号，那么该滤波器的脉冲响应h(n)也必然是离散的。这样的滤波器是数字滤波器。当用硬件实现一个数字滤波器时，所需的元件是延迟器、乘法器和加法器。当在计算机上用软件实现时，就是一段线性卷积的程序。模拟滤波器智能用硬件来实现，其元件是电阻、电容、电感及运算放大器等。
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五、模拟滤波器设计原理
5.1 信号无失真传输的条件
信号无失真传输指输入信号通过系统后，输出信号的幅值和输入信号的幅值成正比，允许有一定的延时，但没有波形上的畸变。系统的频率响应H(j?)满足下面的特性：
?H(j?)?k ???(?)??H(j?)???td式中，k、td均为常数。
群延迟（group delay）为信号通过系统的延迟时间，即：
td?d?(?) d?群延迟为相频特性曲线的斜率。对于无失真传输，td为常数，即群延迟为常数。
5.2 理想滤波器的特性
滤波器是一个选频装置。理想滤波器应能无失真地传输游泳信号，而又能完全抑制无用信号。有用信号和无用信号往往占有不同的频带。信号能通过滤波器的频带称为通带（passband），信号被抑制的频带称为阻带（stopband）。理想滤波器频率特性可写为：
?Kej?td，在通带内H(j?)??
?0，在阻带内实际滤波器的特性只能逼近理想滤波器，如下图：
H(j?)10-Ep/20100-Rp/20
可见，滤波器的幅频响应在通带内不是完全平直的，而是呈波纹变化；在阻带内，幅频
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?p?s特性不为零，而是衰减至某个值；在通带和阻带之间存在一个过渡带，而不是突然下降。
滤波器的通带波纹Rp为相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，下降越少说明通带越平直，滤波器的滤波效果越好（通常为1~5dB）。滤波器的阻带衰减Ep也是相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，下降越多说明信号在阻带内越不容易通过，滤波效果越好（通常大于15dB）。过渡带越窄，滤波器的频率特性越接近直角矩形特性，滤波效果也越好。
5.3 模拟滤波器传递函数设计原理
模拟滤波器的设计通常在Laplace域内进行讨论。模拟滤波器的技术指标由平方幅值响
2应函数A(?)?H(j?)的形式给出，而H(j?)合传递函数H(s)存在下面的关系：
22A(?2)?H(j?)?H(s)H(?s)即
2s?j?
A(?2)?2??s2?H(s)H(?s)
2给定滤波器的技术指标后，由A(?)?H(j?)求出A(?s2)，再适当地分配零极点
2可求出H(s)。为使滤波器稳定，H(s)的极点必须落在s平面左半平面。对于一个滤波器
的极点p，可以写成
1pt的形式，其逆Laplace变换为e，若p?0，随着时间增大至无s?p2穷，该滤波器的输出将出现不稳定。滤波器的零点可任取A(?s)的一半零点，这是因为滤波器对Laplace域表示的传递函数并无特殊要求，但如果要求H(s)具有最小相位，零点也必须选择在s左半平面。
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六、模拟原型滤波器
模拟原型滤波器指的是截止频率为1的滤波器。
6.1 Butterworth滤波器
Butterworth模拟低通滤波器的平方幅频响应函数为：
H(j?)?A(?2)?21 2N1?(?/?c)式中?c为低通滤波器的截止频率（cutoff frequency），N为滤波器的阶数。 Butterworth滤波器特点：
通带内具有最大平坦的频率特性，且随着频率增大平滑单调下降；阶数越高，特性愈接近矩形，过渡带愈窄；传递函数无零点。
零点：滤波器的零点是将该值代入传递函数后，传递函数的值为零。 极点：滤波器的极点是将该值代入传递函数后，传递函数的值为无穷大。 增益：滤波器的增益是指传递函数表达式前的系数。 传递函数表达式：
H(s)?Z(s)K(s?z(1))(s?z(2))?((s?z(nz)) ?P(s)(s?p(1))(s?p(2))?((s?p(np))则滤波器的零点为[z(1),z(2)?z(nz)]，极点为[p(1),p(2)?p(np)]，增益为K。 MATLAB信号处理工具箱提供了Butterworth低通滤波器原型设计函数buttap，函数调用格式为： [z,p,k]=buttap(n)
其中，n为Butterworth滤波器的阶数，z、p、k分别为滤波器的零点、极点和增益。 Butterworth滤波器的传递函数具有下面的形式：
H(s)?Z(s)K? P(s)(s?p(1))(s?p(2))?((s?p(n))滤波器没有零点，极点为[p(1),p(2)?p(np)]，增益为K。 特殊函数：
[b,a]=zp2tf(z,p,k)为将模拟原型滤波器函数（如buttap）设计出的零点z、极点p和增益形式转换为传递函数形式；其中，b为滤波器传递函数分子多项式系数，a为滤波器传递函
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