七 模拟滤波器频率变换
频率变换：指各类滤波器和低通模拟滤波器原型传递函数中频率自变量之间的变换关系。通过频率变换，可以由低通模拟滤波器原型的传输函数求得低通、高通、带通和带阻滤波器的传输函数。 步骤：
不论设计那种滤波器，都可以将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，先设计低通模拟滤波器原型，再通过频率变换将低通传输函数转换为所需的滤波器传输函数，若再利用s域到z域变换，就可以设计各种IIR滤波器。
频率变换也是滤波器设计的一种一种重要方法。
MATLAB中提供了lp2lp、lp2bs、lp2bp和lp2hp四种频率变换函数。
7.1 lp2lp函数
其调用格式为：
[bt,at]?lp2lp(b,a,?0)[At,Bt,Ct,Dt]?lp2lp(A,B,C,D,?0)
lp2lp函数可以将截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器原型转换为截止频率为?0的低通滤波器，这是利用butter、cheby1、cheby2和ellip函数设计数字滤波器的关键一步。
lp2lp函数可以用传递函数和状态空间两种形式进行转换，但无论哪种形式，其输入必须是模拟滤波器原型。
当调用[bt,at]?lp2lp(b,a,?0)进行转换时，模拟滤波器表示形式如下：
b(s)b(1)sn???b(n)s?b(n?1) H(s)??ma(s)a(1)s???a(m)s?a(m?1)调用[At,Bt,Ct,Dt]?lp2lp(A,B,C,D,?0)进行转换时，模拟滤波器表示形式如下：
x'?Ax?Byy'?Cx?Dy
式中A、B、C、D分别是状态转移方程矩阵。在状态空间中，该转换对应的转移矩阵为：
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At??0?ABt??0?BCt?CDt?D
7.2 lp2hp函数
其调用格式为：
[bt,at]?lp2hp(b,a,?0)[At,Bt,Ct,Dt]?lp2hp(A,B,C,D,?0)
lp2hp函数与lp2lp函数功能类似，只是将模拟低通滤波器原型转换为截止频率为?0的高通滤波器。
7.3 lp2bp
其调用格式为：
[bt,at]?lp2bp(b,a,?0,Bw)[At,Bt,Ct,Dt]?lp2bp(A,B,C,D,?0,Bw)
lp2bp函数与lp2lp函数功能类似，只是将模拟低通滤波器原型转换为具有指定带宽Bw和中心频率为?0的带通滤波器。
如果要求滤波器的低端截止频率为?1，高端截止频率为?2，则可先计算出?0和Bw：
?0??1?2Bw??2-?1
在状态空间中，利用该函数进行转换时，对应的矩阵转换为：
Q??0/Bw;[ma,m]?size(A);[mc,k]?size(A);At??0?[A/Qeye(ma,m);?eye(ma,m)zero(ma,m)];Bt??0?[B/Q;zeros(ma,m)];Ct?[Czeros(mc,ma)];Dt?d;
7.4 lp2bs函数
其调用格式为：
[bt,at]?lp2bs(b,a,?0,Bw)[At,Bt,Ct,Dt]?lp2bs(A,B,C,D,?0,Bw)
lp2bp函数与lp2bp函数功能类似，该函数也可以用传递函数和状态空间两种形式进行
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转换，但无论哪种形式，其输入必须是模拟低通滤波器原型。
在状态空间中，利用该函数进行转换时，对应的矩阵转换为：
Q??0/Bw;[ma,m]?size(A);[mc,k]?size(A);At??0?[A/Q?inv(A);?0?eye(ma);??0?eye(ma)];Bt??[?0/Q?(AB);zeros(ma,m)];Ct?[C/Azeros(mc,ma)];Dt?D?C/A?B;
7.5 设计示例
利用以上函数设计模拟滤波器时，一般经过如下步骤：
1、 确定滤波器性能指标，如通带下限频率?p、阻带上限频率?s、通带最大衰减Rp和阻
带最小衰减Rs。 2、 确定滤波器最小阶数。
3、 利用MATLAB工具箱提供的buttlap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap和besselap函数，设计
模拟低通滤波器原型。
4、 调用MATLAB提供的频率变换函数lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs（低通、高通、带通和
带阻）滤波器。
例 设计10阶Chebyshev I型带通滤波器，通带波纹3dB，下限频率为?1??/5，阻带下限频率为?2??。（程序complex4_22）
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例 设计5阶椭圆模拟高通滤波器，通带波纹系数Rp=0.5dB，阻带衰减Rs=10dB，通带截止频率200?/rad，并绘制频谱图（程序complex4_22）
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八 模拟滤波器最小阶数选择
滤波器阶数是决定滤波器品质的主要参数之一。在满足性能指标的前提下，阶数尽可能小，以满足易于实现、提高运算速度的要求。
滤波器阶数与性能之间存在一定的函数关系，通过这一关系可求出满足滤波器性能指标的最低阶数。
8.1 滤波器最小阶数选择原理
模拟低通滤波器的实际指标为：通带便捷频率?p、阻带边界频率?s、通带波纹
Rp(dB)、阻带误差Rs(dB)。
当???p时
H(j?)?10?Rp20 Rp??10lgH(j?)
2假定截止频率?c（幅值下降3dB）为1，则?的相对频率
?，则上式可写成： ?c??1?Rp??10lg???1????????c同理，当???s时
????2N???????
H(j?)?10?Rp20
Rs??10lgH(j?)2
??1?Rs??10lg???1????????s综合上面两式可得：
????2N???????
lg(10Rp/10?1)/(10Rs/10?1)N???p?2lg??????s?
式中，N应向上取整，则N为该滤波器的最小阶数。?c表示为：
?? 40