?c??c??p2N(10Rp/10?1)
?s2N(10Rs/10?1)例 设计一个模拟Butterworth滤波器，设计指标为通带边界频率界频率
?c?200?，阻带边
?s?300?，通带波纹1dB，阻带衰减16dB，试确定最小阶数N的截止频率。
（程序
complex4_24）
Wp=200*pi;Ws=300*pi; Rp=1;Rs=16;
N=ceil(log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(Rs/10)-1))/(2*log10(Wp/Ws))) ?il函数为向上取整 Wcp=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N))) Wcs=Wp/((10^(Rs/10)-1)^(1/(2*N))) 运行结果如下：
N =7
Wcp = 691.9839 Wcs = 483.8194
8.2 滤波器最小阶数选择函数
几种滤波器最小阶数的选择函数如下：
[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,’s’); %Butterworth滤波器 [n,wc]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,’s’); %Chebyshev I滤波器 [n,wc]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs,’s’); %Chebyshev II滤波器 [n,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,’s’); %Elliptic滤波器
其中，wp为通带边界频率；ws为阻带边界频率，单位为rad/s；Rp、Rs分别为通带波纹和阻带衰减，单位为dB，二者分别表示通带内的最大允许幅值损失和阻带下降的分贝数；’s’表示模拟滤波器（缺省时，该函数适用于数字滤波器）；函数返回值n为模拟滤波器的最小阶数；wc为模拟滤波器的截止频率，单位为rad/s；这四个函数适用于低通、高通、带通、带阻滤波器。
若wp
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带阻滤波器存在两个过渡带，wp和ws均应该为含有两个元素的向量，分别表示两个过渡带的边界频率，即wp=[通带下界频率，通带上界频率]，ws=[阻带下界频率，阻带上界频率]。对于通带滤波器，这4个频率界线的大小排列为：阻带下界频率<通带下界频率<通带上界频率<阻带上界频率；对于阻带滤波器，这4个频率界线的大小排列为：通带下界频率<阻带下界频率<阻带上界频率<通带上界频率。这时，返回值wc包括两个元素（第一个元素小于第二个元素），分别为通带和阻带之间的界线频率，函数会自动判断是带通还是带阻滤波器。
例 设计一个模拟低通Butterworth滤波器和Chebyshev II型滤波器，满足通带边界频率
?p?200?，阻带边界频率
?s?300?，通带波纹Rp=1dB，阻带衰减Rs=16dB，试确
定最小阶数N和通带下降3dB的截止频率。（程序complex4_25） 运行结果如下： Butterworth滤波器 N = 7 Wc = 725.7292
Chebyshev II型滤波器 N = 4 Wc = 839.8376
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九 基于完全设计函数的模拟滤波器设计
MATLAB提供了一组滤波器完全设计函数----butter、cheby1、cheby2、ellip和besself，只需调用这些函数一次，即可完成全部滤波器设计。这些函数不仅适应于模拟滤波器设计，还是用于数字滤波器设计。
9.1 用butter函数设计巴特沃思模拟滤波器
其调用格式为： [b,a]=butter(n,Wn) [b,a]=butter(n,Wn,’ftype’) [b,a]=butter(n,Wn,’s’) [z,p,k]=butter(n,Wn,’ftype’,’s’) [z,p,k]=butter(…) [A,B,C,D]=butter(…)
利用该函数能设计巴特沃思低通、高通、带通和带阻模拟或数字滤波器。
此种滤波器在通带内具有最大的平坦幅度，整体单调下降，但这种平台是以牺牲过渡带的陡度为代价。
参数说明如下：
? n为滤波器阶数（若为带通或带阻滤波器则滤波器阶数为2n）。
? Wn为滤波器截止频率，用于数字滤波器设计时0 用于模拟滤波器设计时，Wn可以大于1，单位为rsd/s。 ? ftype代表滤波器类型，可取如下几个参数： ①’high’：代表所设计的是高通滤波器。 ②’stop’：代表所设计的是带阻滤波器。 ③’s’: 代表是模拟滤波器设计。 ⑴、[b,a]=butter(n,Wn,’s’) 是设计n阶模拟低通滤波器，截止频率为Wn rad/s，该函数返回长度为n+1的A、B两处向量，表示的系统传递函数为： B(s)b1sn?b2sn?1???bns?bn?1H(s)??A(s)a1sm?a2sn?1???ans?an?1 ⑵、[A,B,C,D]=butter(?)返回的是状态装一矩阵A、B、C、D。 如果Wn是一个有两个元素的向量，即Wn=[W1 W2](W1 43 2n阶模拟带通滤波器，通带范围是W1 ⑶、[z,p,k] =butter(n,Wn,’ftype’,’s’)返回n列或者2n列的零极点向量和增益K。 ⑷、[b,a]=butter(n,Wn)和[b,a]=butter(n,Wn,’ftype’)用于数字滤波器的设计。该函数与buttord联合使用可设计最小阶数的巴特沃思模拟滤波器。 例 设计一个巴特沃思带通滤波器，其技术指标为：W1=2000Hz，W2=3000Hz，两侧的过渡带宽为500Hz，通带波纹Rp=1dB，阻带衰减Rs=60dB。（程序complex4_26） 以下程序实现该模拟滤波器设计，滤波器阶数为N=14。 wp=[2000 3000]*2*pi; %性能指标 ws=[1500 3500]*2*pi; Rp=1; Rs=60; [N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,’s’) %估计滤波器的最小阶数N [b,a]=butter(N,Wn,’s’); %利用butter函数设计滤波器 %outpit Am response w=linspace(1,4000,1000）*2*pi; H=freqs(b,a,w); plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H))); xlabel(‘Frequency(Hz)’); ylabel(‘Magnitude(dB)’); title([‘Butterworth Analog bandpass filter order N=’,num2str(N)]) ; grid on; 运行结果如下： N = 14 Wn = 1.0e+004 * 1.2342 1.9192 幅频特性如下： 44 9.2 用cheby1、cheby2函数设计契比雪夫模拟滤波器 ⑴ cheby1函数 其调用格式为： [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn) [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,’ftype’) [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,’s’) [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn, ’ftype’, ’s’) [z,p,k]= cheby1(…) [A,B,C,D]= cheby1(…) 利用该函数能设计契比雪夫I型低通、高通、带通和带阻模拟或数字滤波器。 此种滤波器在通带内具有等波纹特性，阻带内单调下降。契比雪夫I型滤波器较契比雪夫II型的阻带衰减更快，但阻带内的误差加大。 函数引用中Rp为通带波纹系数，其余参数与butter函数参数意义相同。 例 设计契比雪夫I型高通模拟滤波器，其设计指标为：通带截止频率为2000Hz，过渡带为500Hz，通带波纹系数为Pp=1dB，阻带衰减系数Rs=60dB。（程序complex4_27） 以下程序代码实现了该滤波器设计: wp=2000*2*pi; %性能指标 ws=1500*2*pi; 45