盐城师范学院毕业论文
引 言
近几年来，国内很多数学分析教材都引入Wallis公式，关于其证明方法有很多种，一般都是利用积分Jn??sinnxdx??cosnxdx证明的，本文将借助类比思维，分别利用根与系数关系的思维方法和含参量定积分来证明Wallis公式．此外，教材中关于其应用论述的很少，这是为什么呢？因为很多可以应用Wallis公式的“高地”被斯特林公式占领了．但本文搜集到一些不能应用斯特林公式却可以能应用Wallis公式的例子．且Wallis公式在推导斯特林公式中扮演很重要的角色，从加深理解Wallis公式的角度探求其一些简单推广以及其在极限计算、积分计算和级数收敛判别方面的应用．
1 沃利斯公式的证明及推广
1.1沃利斯公式的新证明
沃利斯公式??指的是
11?2?4(2n)?? lim???. n??2n?11?3(2n?1)2??2经过开平方后，则Wallis公式可以写为
(n!)222n lim??.
n??(2n)!n现引入这样的数学记号：1?3?5式又可以写成
1?(2n)!!??(2n?1)!!?lim?或lim2n?1?. （1-1） ??n??2n?1(2n?1)!!n??2(2n)!!2??2(2n?1)?(2n?1)!!，2?4?6(2n)?(2n)!!，则Wallis公
1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程
类比的思维是人们把个别问题解决后所得到的经验用来解决其他近似问题的一种类似联想的思维的方法，类比这个重要的数学思想方法，曾被波利亚称为科学发现的“伟大引路人”[2]，被17世纪德国著名天文学家和数学家开普勒视为“知道大自然一切秘密”的“导师”.在这我们也将采用类比思维.
2对于有限次代数方程b0?b1x?b2x??nbnx?0，b0?0 假如有n个不同的根
k1,k2,k3,,kn，那么左边的多项式就可以表示为k线性因子乘积，即
第 1 页 共 14 页
盐城师范学院毕业论文
b0?b1x?b2x2??x??x??x??bnxn??1???1???1???k1??k2??k3??x?1??? ?kn?比较这个恒等式两边x的同次幂的系数，就可以得到根和系数的关系. 特别是偶数次方程a0?a1x2?a2x4??(?1)nanx2n?0有2n个不相同的根
?1,??1,?2,??2,,?n,??n，则有
a0?a1x?a2x?二次项系数有
?11a1?a0?2?2???1?21??2?. ?n?24?x2??x2??x2??(?1)anx?a0?1?2??1?2??1?2???1???2??a3?n2n?x2??1?2?，我们比较??n?根据幂级数展开式??，在x?0，则
1sinxx2x4x6x8?1?????x3!5!7!9!.
利用无穷多项方程
x2x4x6x81?????3!5!7!9!?0. （1-2）
由于方程（1-2）的根为：??,?2?,?3?,?4?,?5?,?6?，则
sinxx2x4x6x8?1?????x3!5!7!9!即
?x2??x2??x2???1?2??1??1?2??2??(2?)(3?)???????x2??1?2?(n?)???x2????1?2?(n?)n?1???sin?x??x2? ???1?2?. （1-3）
?xnn?1??x2因为?绝对收敛，所以这无穷乘积是绝对收敛的. 2n?1(n?)?在（1-3）中令x?1，得 222??(2t)!!?1(2n)2?t2n?1???lim???lim, ??t??(2t?1)!!2n?1(2n?1)(2n?1)t???n?12n?1?2n?12t?1????沃利斯公式（1-1）得证.
第 2 页 共 14 页
盐城师范学院毕业论文
1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式
引理1 设J(m,n)??2sinmxcosnxdx(m,n???)，则有
0?3?? J(m,n)?定理1 设In??xn01n?1m?1J(m,n?2)?J(m?2,n). m?nm?nn?1In?2. 1?x2dx，n???，证明In?n?2证明 令x?sint，根据引理1得
?n?1n?1n?222In??2sintcostdt?J(n,2)?J(n?2,2)?sintcostdt ?00n?2n?2n2?n?11n?21?x2n?11n?2n?12 令sinxdx?x1?xdx?In?2. t?x??200n?2n?2n?21?x由于
I0??101?xdx?2?1，I1??x1?x2dx?，
0431因此当n?2m(m?1,2,)时，即
I2m?2m?12m?3?2m?22m31?(2m?1)!!?. ???644(2m?2)!!2当n?2m?1(m?0,1,2,)时，
I2m?1?2m2m?2?2m?32m?1421(2m)!!???. 753(2m?3)!!则
1In??xn0?(2m?1)!!?n?2m,?(2m?2)!!2,? 1?x2dx???(2m)!!,n?2m?1.?(2m?3)!!?另一方面，由定积分的保不等式性质知，当x?(0,1)时，有
?从而得到
10x2m?11?x2dx??x2m1?x2dx??x2m?11?x2dx,
0011(2m)!!(2m?1)!!?(2m?2)!!??，
(2m?3)!!(2m?2)!12(2m?1)!!从上式可得到
第 3 页 共 14 页
盐城师范学院毕业论文
?22?(2m)!!?12m?2??(2m)!!??(2m?1)???2m?1?2m?3?2???(2m?1)!!???12m?1?2m?22m?1. ?(2m)!!?2在上式中，令A1m???(2m?1)!!???2m?1，则 2m?22m?3??12m?22A?. m2m?1由于lim2m?2m??2m?3?lim2m?2m??2m?1?1，因此根据迫敛性可知lim?m??2?1A?1，因而
mlimA??(2m)!!?21m??m?2?limm????(2m?1)!!??2m?1??2. Wallis公式（1-1）得证. 1.2沃利斯公式的推广 1.2.1含参数的沃利斯公式
对任意非负实数x和正整数n，则有
2 lim?(2?x)(4?x)(2n?x)?1n????(1?x)(3?x)(2n?1?x)??2n?1?x?Ix(1?x)I 1?x?其中I2x??sinxtdt[4]0.
证明 由分部积分法知，当?u?2时，则有?
I2uu??0sintdt??2?sinu?10tdcost
?(u?1)Iu?2?(u?1)Iu.
因此有Iu?1u?uIu?2. 于是
I2n?1?x2n?3?x1?x2n?x?2n?x?2n?2?x2?xIx，
I2n?x2n?2?x2?x2n?1?x?2n?1?x?2n?1?x3?xI1?x，
从而
0?I2n?1?x?I2n?x?I2n?1?x，
即
2n?x?1?x?I2n?1?xI?I2n?1?x2n?1，
2n?1?xI2n?x令n??，利用夹逼定理并整理得到（1-4）式.
第 4 页 共 14 页
1-4） （
盐城师范学院毕业论文
注1 令x?0，可以得到著名的Wallis公式 1.2.2含沃利斯公式的不等式
关于Wallis公式
(2n?1)!!(2n)!!1的研究一直以来都受数学家的关注[5]，1956年?nKazarinoff给出了如下含Wallis公式形式的不等式[6]
1(2n?1)!!1 ??(2n)!!?(n?12)?(n?14)本文将含Wallis公式不等式推广为 当K?2时，有下列式子成立 或 K?1K?12K?1??kK2KKnnK?1K?1, （1-5） ?knKn(K?1)?K?1KK2K??(K?1)knK?12K?1nKK. （1-6） ?nK?1kn(K?1)?K?4证明 如果K?1，式（1-5）显然成立.
如果K?2，用数学归纳法证明，式（1-5）左边 当n?1时，显然成立.
假设对式子（1-5）的左边对于正整数n成立，则下面证明对于n?1同样成立，由归纳假设，只要证明
K?1K?1(n?1)K?1??, kk(n?1)KKn?1Kn即证明
n?1kk?(n?1)K?1???(n?1)K?, nk?n?1?11?亦即 ??1. （1-7）n?(n?1)K??根据伯努利不等式[7]
1K?.0 ) (1?x)k?1?Kx (x??1,K?或令x??1，则
(n?1)K第 5 页 共 14 页