盐城师范学院毕业论文
因此
?
??0e?x2dx??2. 例6 求J10??xsin10xdx的值.
0?解 J10???2sin10xdx???059753?3152??????. 1086442560例7 求积分?x(5?4x?x)dx的值.
?13229?(x?2)?解 ?x(5?4x?x)dx??x??dx ?1?1?令x?2?3sin?,则dx?3cosd?.
?22?53225232原式???(2?3sin?)(9?9sin?)(3cos?d?)
232???2?(2?3sin?)?27cos3??3cos?d?
?2??81?2?(2?3sin?)cos4?d?
?2?4????162?2?cos?d??243?2?cos4?sin?d?
22??162?2?2cos4?d??0
0 ?324?3!!?243???. 4!!242.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用
对于一些级数收敛性的判别问题，文献[10]指出若利用沃利斯公式可能会起到事半功倍的效果.
?(2n?1)!!?例8 判别正项级数??，（s?R）的敛散性. ?n?1?(2n)!!??s?(2n?1)!!?证 由于通项un???含有双阶乘的运算，原则上想到运用比式判别法，但(2n)!!??s是由于limun?1?1，因此比式判别法失效.
n??un第 11 页 共 14 页
盐城师范学院毕业论文
??2n?2?s?an?1)?limn???若运用拉贝判别法，由于limn?(??1? n??n??an?12n?1???????s?1??s ?limn??1??????1??，
n???n??2?2n?1s?1时，即s?2时收敛，当s?2时则发散，但当p?2时拉贝判别法则无法进2行判别.
所以当
但如果利用沃利斯公式，不仅对于s?2和s?2时的情况可以判别，而且对s?2时的情况也能判别.比如： 由沃利斯公式得
?(2n?1)!!(2n)!!s2??12n?12??1n12(n??).
??(2n?1)!!?1则正项级数??与正项级数的敛散性相同.由上分析可得正项级数??s(2n)!!n?1?n?12?n?(2n?1)!!???(2n)!!?当s?2时收敛，当s?2时发散 . n?1???s例9 二项式级数
(1?x)?1??mn?1?m(m?1)(m?n?1)nx
n!当x?1，?1?m?0时条件收敛 .
证 令u0?1，un表示二项式级数在x?1时的通项，则 un?(?1)nm(m?1)n!?m?n?1?(n?1,2,3)，
故此二项式级数是一交错级数，且
un?un?1(n?0,1,2)， 由于0?m?1，则必存在两个正整数K和J，使
1K?1?m?， JK再结合沃利斯公式的推论中式子（1-5）可得
K?1K?1(?1)KKun?n!?K?1??n?1???K?
第 12 页 共 14 页
盐城师范学院毕业论文
?K?12K?1?K2KknK?1 nK?K?1. n(K?1)?K?1?即limun?0，由Leibniz判别法可知级数?un收敛.
n??n?0又
1?1???1?J?J?un??1???n?1??J? n!沃利斯公式推广中公式(1-6)得
1J?1un??J2J(n?1)J?1 nJ?J?12J?1???J2J?nJ?1?1 ?nJ?nJ?1? ?J?n(J?1)?J?41?2.
J(nJ?1)2Jn?1再由调和级数?发散可知级数?un发散.
n?1nn?1所以当x?1，?1?m?0时二项式级数条件收敛.
3 总 结
本文针对沃利斯公式的应用进行研究，给出了沃利斯公式在求某些极限计算、积分计算、级数收敛的简便之处.并且将沃利斯公式进行简单的推广，在证明某些级数收敛性问题时，运用达朗贝尔法与拉贝判别法时会失效，但运用沃利斯公式会很简单有效的解决这类问题，此外我们知道在有关二项式级数在收敛区间端点的收敛性是一个较为困难的问题，有的教材对此置之不理，有的则要借助于几何级数来解决，本文利用对沃利斯公式的推广能有效的解决一些此类型的问题.当然还有更多问题值得我们探讨，例如对含参数的沃利斯公式的更多应用以及含沃利斯公式的双边不等式的推广可以给出更
n
为精确的结果，以及沃利斯公式在二项式C2这些问题将另文研究. n的上下界的研究等，
第 13 页 共 14 页
盐城师范学院毕业论文
参考文献
[1] 华东师范大学数学系．数学分析上册（第四版）．北京：高等教育出版社，2001． [2] 屈芝莲.Wallis公式新证明.科学技术与工程,2011,1:549-550.
[3] Mikhail Kovalyov. Elementary Combinatorial-Probabilistic Proof of the Wallis Formulas.
Journal of Mathematics and Statistics,2009,5:408-409.
[4] 李建军.一种含参数的Wallis公式与Stirling公式.数学理论与应用,2008,3:52-53. [5] 赵德钧.关于含Wallis公式的双边不等式.数学的实践与认识，2004,34(7):167-168. [6] D.k Kazarinoff. On Wallis’ formula. Edinburgh Math Notes,1956,40:19-21. [7] 张文亮.一个不等式的探讨.2004,3:19-21.
[8] Jeffrey H. Wallis’ formula for ?.Methods of Mathematical Physics,1988,3:468-467. [9] 王振芳,陈慧琴.沃利斯(Wallis)公式及其应用.山西大同大学学报,2011,10:5-6. [10] 张国铭.Wallis公式的几个应用.高等数学研究,2008,9:37-40.
第 14 页 共 14 页