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?n?1?1n?1?1?1??1??1. ????n?(n?1)K?n?n?1?k所以式（1-7）成立.因此，对任意正整数n，式子（1-5）的左边成立.
下面证明式（1-5）的右边成立.
当n?1时，要证明(1-5)的右边成立，只要证明
K?1K?1, ?kK2K即可，化简可知这个不等式成立的充要条件为Kk?2K，又由于K?2时，有
. Kk?2K?K(Kk?1?2)?0因此，此时式（1-5）的右边成立 .
假设式（1-5）的右边对于正整数n，下面证明n?1同样成立，只要证明
K?1(n?1)K?1K?1, ??nn(K?1)?K?1k(n?1)K(n?1)(K?1)?K?1而此不等式成立的充要条件为
?(n?1)(K?1)?K?1??(n?1)K?1?即
kk??n(K?1)?K?1??(n?1)K?,
kk ??(n?1)K?1??(n?K?1)???(n?1)K?1????(n?1)K?1??n????(n?1)K?1??1? （1-8）但是，由Newton二项式公式，式子（1-8）的右边不小于下面的式子：
K(K?1)kk?1k?2?(n?1)K?1?n?(n?1)K?1?K(n?1)K?1?????????(n?1)K?1?????
2????(n?1)K?1???(n?1)K?1?k?1kk?1?K(K?1)??(n?K)?(n?1)K?1????nK??(n?1)K?1?
2??k?1?(n?K)?(n?1)K?1???(K?1)?nK??(n?1)K?1?kk?1
??(n?1)K?1?k?1?(n?K?1)?(n?1)K?1?
kk???(n?1)K?1??(n?K?1)???(n?1)K?1?.
所以式子（1-8）成立.
因此，对任意正整数n,式子（1-5）的右边成立.
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2 沃利斯公式的应用
2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用
由于沃利斯公式和极限有关，所以在计算一些极限的问题可以通过沃利斯公式会很容易出来.
例1 求极限lim1?3?5(2n?1).
n??2?4?6(2n)解 利用沃利斯公式（1.3），可得
lim1?3?5?(2n?1)(2n?1)!!?lim
n??2?4?6n??(2n)!!(2n)?(2n?1)!!1? ?lim??2n?1?? n??(2n)!!2n?1???(2n?1)!!?1 ?lim? ?2n?1??limn??n??2n?1?(2n)!!? ?2??0?0.
例2 设an?n(n?1)!!（n??），试证 n!!liman?n???2，liman?n??2?. 解 由于
a2n?22n?22n?12n?1????1， a2n2n?22n2n(2n?2)a2n?12n?12n2n????1， a2n?12n?12n?1(2n?1)(2n?1) 因此?a2n?，?a2n?1?是递增数列.根据沃利斯公式，则
lima2n?n??2?， lima2n?1?n???2. 得证.
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例3 求极限lim??6?8(2n?4)?2n???5?7(2n?3)??.
解 由沃利斯（Wallis）公式的推广（1-4），则有
2 lim?(2?x)(4?x)(2n?x)?1n????(1?x)(3?x)(2n?1?x)??2n?1?x ? ??20sinxttd?.
(1?x?)20sxi?1nttd令x?4则
?2lim(2?x)(4?x)(2n?x)?n????(1?x)(3?x)(2n?1?x)?? ?lim?6?8(n2??42n????5?7?)(n2?3?) ?2 ?lim?0sin4tdtn????(2n?5)
5??20sin5tdt ?l9?n??im128?(n2??5?). 例4 求极限lim?11n????1?9?25??1?(2n?1)2?. ?解 因为(arcsinx)'?12?121?x2?(1?x)
(?1)(?1?1)(?1)(?1?1)(1 ?1?(?1)x2?22?x42?2)22!?223!x6? ?1?11?32x2?22?2!x4?1?3?5623?3!x? ? ?1??(2n?1)!!x2n，x?(n?1(2n)!!?1,1). ?因此 arcsixn???2n?1)!0?(?1(x2!n)n?1(2n)!!dx ??x??(2n?1)!!?x2n?1 n?1(2n)!!2n?1 第 8 页 共 14 页
2-1）
（ 盐城师范学院毕业论文
由于当x?1时，级数?(2n?1)!!1在x?1处收敛[8]（本文下面给予证明），又由于?2n?1n?1(2n)!!?函数项级数M-检验法知，级数(1)在??1,1?上一致收敛.
在（2-1）中，令x?sint(??2?t???2)，有
(2n?1)!!sin2n?1t， （2-2） t?sint???2n?1n?1(2n)!!???对（2-2）所在区间?0,?取积分，并且由逐项积分公式，则有
?2??(2n?1)!!2n?1222tdt?sintdt??sintdt， ??0?0?0n?1(2n)!!(2n?1)????2??(2n?1)!!?1????2sin2n?1tdt，
08n?1(2n)!!(2n?1)?又由沃利斯公式可知，?2sin2n?1tdt?0(2n)!!，
(2n?1)!!于是
?28?1???(2n?1)!!(2n)!! ?(2n)!!(2n?1)(2n?1)!!n?1??11 ?1?? ??22n?0(2n?1)n?0(2n?1)即
11lim(1???n??9252.2 沃利斯公式在积分计算中的应用
1?2. ?)?(2n?1)28对于一些不易用积分法求出原函数的积分，但是利用沃利斯公式却可能很容易解决这些问题.
例5[9] 求积分I??e?xdx.
0??2解 假设x?0，由
x4x61?x?1?x???2!3!22?ex?1?x2?x4?2?1, 1?x2第 9 页 共 14 页
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可知
1, 21?x注意，前者仅对0?x?1正确，而后者对任一x?0都对，由此可得
1?x2?e?x?2(1?x2)n?e?nx (0?x?1)，
e?nx?221 (x?0).
(1?x2)n取积分
?10(1?x2)ndx??e?nx??e?nx??0012?2?0dx. 2n(1?x)但用替换u?nx可得
?又
?0e?nx2dx?1I. n?即
1?0(1?x)dx??2sin2n?1tdt?02n2?4?6(2n?2)?(2n),
1?3?5(2n?1)?所以
n??0?dx1?3(2n?3)?2n?22, ?sintdt?(1?x2)n?02?4(2n?2)22?4?6(2n?2)(2n)1?3(2n?3)??I?n??.
1?3?5(2n?1)2?4(2n?2)2平方得
n(2?4(2n?2)(2n))2n(1?3(2n?3))2(2n?1)???2?I????. 222n?1(1?3?5(2n?1))(2n?1)2n?1(2?4(2n?1))?4?由沃利斯公式得
2(2?4(2n?2)(2n))2?. lim?2n??(1?3?5(2n?1))(2n?1)2可知，当n??时
1?1???I2??, 2222即
I2??4.
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