( 解（1）平面波的传播方向为＋ｚ方向 （2）频率为
cf?k0?3?109Hz2?
（3）波的极化方式因为
Exm?Eym?10,?x??y?0?
?4?2???，故为左旋圆极化．
2（4）磁场强度
H??1?01az?E?(az?ax10?4?jaz?ay10?4)e?j20?z?0?0(ay10?4?jax10?4)e?j20?z?0（5）平均功率坡印廷矢量
11Re[E?H*]?Re[(ax10?4?jay10?4)e?j20?z2211(10?4)2(10?4)2?(ay10?4?jax10?4)ej20?z?[?]az?02?0?0Sav?11??[2?10?8]az2120??0.265?10?10az(W/m2)1 求矢量1.
A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
exey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z( 解 ?Adl??xdx??xdx??2C00022222dy??0dy?8 ??A?0??xx22所以??AdS?S???(e2yz?e2x)exz00zdxdy?8 故有?Adl?8????AdS
CS1. 同轴线内外半径分别为a和b，填充的介质??0，具有漏电现象，同轴线外加电压U，求
（1）漏电介质内的?；（2）漏电介质内的E、J；（3）单位长度上的漏电电导。 ( 解（1）电位所满足的拉普拉斯方程为1dd?
()?0rdrdr??由边界条件r?a,??U;r?b,??0所得解为
?(r)?[Ub]lnbrlna
（2）电场强度变量为
E(r)??erd?U?erdrrlnba，
则漏电媒质的电流密度为
J??E(r)? （3）单位长度的漏电流为
?Urlnbaer
I0?2?r??Urlnba?2??Uebrlna 21
单位长度的漏电导为
G0?I02???Ulnba
1. 空气中传播的均匀平面波电场为
E?exE0e?jk?r，已知电磁波沿ｚ轴传播，频率为f。求
(1)磁场H； (2)波长?； (3)能流密度S和平均能流密度( 解（1）
Sav； (4)能量密度W。
H?1?ez?exE0e?jk?r?ey
?0E0e?jk?r?0
（2）
v1???ff?0?0（3）
?0S?E?H?exE0e?jk?r?eyE0e?jk?r??ez0E02e?2jk?r?0?0?ez
?022Ecos(2?ft?kz)?0011?02Sav?Re(E?H*)?ezE022?0 （4）
11W??0E2??0H222
1. 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0（1）板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
d/2)用介电常数为?的电介质填充，
（2）若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；（3）求电容器的电容量。 ( （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有?E??0E0 又由于E2?0U02?U0dd E0?? ?E0??U0由以上两式解得E??(???)d(???)d22002?0?U0
(???0)d故下极板的自由电荷面密度为?下??E??上极板的自由电荷面密度为?上???0E0?2?0?U0
(???0)d2?0(???0)U0
(???0)d2?0(???0)U0
(???0)d电介质中的极化强度P?(???0)E??ez故下表面上的束缚电荷面密度为?p下??ezP?上表面上的束缚电荷面密度为?p上?ezP??2?0(???0)U0
(???0)d 22
（2）由??2?0?U(???0)dQQ(???0)Q?U? 得到 故?p下? ab(???0)d2?0?ab?ab2?0?abQ? U(???0)d（3）电容器的电容为C?1. 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（?z）方向传播，介质的特性参数为??4、
r?r?1，??0。设电场沿x方向，即E?exEx；当t?0，
1时，电场等于其振幅值 10?4V/m 。试求 z?m8（1） H(z,t)和E(z,t)； （2） 波的传播速度； （3） 平均波印廷矢量。 ( 解以余弦形式写出电场强度表示式
E(z,t)?exEx(z,t)?exEmcos(?t?kz??xE)把数据代入
Em?10?4V/m
4?k?????2?f4?0?0?rad/m3
E(z,t)?ex10?4cos(2??108t?H(z,t)?eyHy?ey?eyEx4??z?)V/m3614??10?4cos(2??108t?z?)36???xE 4?1??kz???rad386??ey14??10?4cos(2??108t?z?)A/m60?36（2）波的传播速度
3?108v????1.5?108m/s2???0?011
（3）平均坡印廷矢量为
1Sav?Re[E?H*]2
4?????j(z?)z?)?42110?4j(43?4366Sav?Re[ex10e?eye]?1Re[e(10)]z260?
260?10?8?ezW/m2120?1. 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。 ( 解 在圆柱坐标系中?A?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z所以??Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200?
?00042?5又
23
?SAdS??(err2?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)S42?252????5?5d?dz???2?4rdrd??1200?0000
故有?Ad??1200?????AdS
S1. 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。
2??2( 解
?rdS??redS??d??aarSS00sin?d??4?a3
又在球坐标系中?r?1?2(rr)?3 2r?r2??a所以?rd????23 3rsin?drd?d??4?a???0001. 证明（1）?R?3；（2）??R?0；（3）?(AR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。 ( 解 （1）
?x?y?z???R??R????3 （2） ?x?x?y?zxexey??yyez??0 ?zy（3）设 A?exAx?eyAy?ezA z则AR?Axx?Ayy?Azz
?(AR)?ex??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)?x?y?ez?(Axx?Ayy?Azz)?z?exAx?eyAy?ezAz?A
1. 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。 ( 解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为E电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为E21?q1r?r1?2ex4?ez4? 4??0r?r1?3??0(42)3?q2r?r2?1ex4?ey4?? 34??0r?r2???0(42)3故(4,0,0)处的电场为E?E1?E2?ex?ey?ez2322??0
1. 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 ( 解 无限长直线电流I1产生的磁场为B1?e??0I1 2?r 24
1直线电流I2每单位长度受到的安培力为Fm12??I2ez?B1dz??e120?0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为Fm21??Fm12?e121. 半径为a的球体中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为
?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a)
其中A为常数，试求电荷密度?(r)。 ( 解 由?D??，有?(r)??D?1d2(rDr) r2dr故在r?a区域?(r)??01d2322[r(r?Ar)]??(5r?4Ar) 02rdr541d(a?Aa)2在r?a区域?(r)??02[r]?0 2rdrr1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。
4已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计算（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
( 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为
1d21d2r4r3(rE)]??[(r)]?6?00r2drr2dra4a4a???0?E??0[
r322（2）球体内的总电量Q为Q???d???6?044?rdr?4??0a
a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为??2Q?2?0 24?a1. 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为
P?P0(exx?eyy?ezz)。
（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。
?P0 ?P(x?( 解 （1） ?P???P?3L)?nP2x?L2?exPx?L2?LP0 2 25