?P(x??)?nPL2x??L2??exPx??L2?LP0 2同理?P(y?LLLLL)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0 22222LP0?0 22?r?1?()R02 3?032（2） qP???Pd????PdS??3P0L?6L??S1. 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心点的电位为2?r( 解 由
?DdS?q可得到
S34?R04?r32 4?rD2?即 4?rD1??（r?R0）?（r?R0）332D1?D2?D?r?r,E1?1?（r?R0） 3?r?03?r?033?R0D1?R0,E??（r?R0） 23r2?03?0r2故中心点的电位为
?3?R0?r?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr 23??3?rr000R0R00R0?R0?R02?R022?r?1?2???()R0 6?r?03?02?r3?01. 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。 ( 解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为?p???P??1d2KK (r)??22rdrrrK R在r?R的球面上，束缚电荷面密度为?p?nPr?R?erPr?R?（2）由于D??0E?P，所以?D??0?E??P??0??D??P 即(1?0)?D??P
??????0?p??K
(???0)r2由此可得到介质球内的自由电荷体密度为???D?????0?P???KR14??RK24?rdr? 总的自由电荷量q???d??2????r???000?
26
（3）介质球内、外的电场强度分别为E1?PK?er???0(???0)r(r?R)
(r?R)
E2?erq4??0r2?er?RK?0(???0)r2介质球内、外的电位分别为
K?RKdr??dr ?1??Edl??E1dr??E2dr??2(???0)r?(???0)rrR0rrR?KR?Kln????0r?0(???0)???R?R?(r?R)
?2??E2dr??r?RK?RKdr??(???0)r2?0(???0)rr0(r?R)
1. 如题（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有点电荷q。求（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。
z q z q R1 z q?q?? P ?0 ? h o ? h ? h o 图 2.13q ? ?0 ?0 h o R2 P R? 题 4.24图（a） 题 4.24图（b） 题 4.24图（c） ( 解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c）所示）
q??????0???0q，位于 z??h q???q， 位于 z?h ???0???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即
?1?qq??4??0R14??0R? ????0q?11?????2?24??0????0r2?(z?h)2?r?(z?h)??下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即
q?q??q1?2?? 4??R22?(???0)r2?(z?h)2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
27
?p?n??P1?P2??z?0??0(E1z?E2z)z?0??0(??2??1?)?z?zz?0??(???0)hq2?(???0)(r2?h2)32
z 极化电荷总电量为qP???PdS???P2?rdr??S0(???0)q(???0)hqr?q?1. 如题dr??2232????00(r?h)???0?5.8所示图，无限长直线电
I ?1??0 ?2?? x 流I垂直于磁导率分别为?1和?2的两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和（2）磁化电流分布。 B2；
( 解 （1）由安培环路定理，可得H?e??II所以得到?I B1??0H?e?0 B2??H?e?2?r2?r2?r(???0)I
2??0r（2）磁介质在的磁化强度M?1?0B2?H?e?则磁化电流体密度Jm???M?ez(???0)I1d1d1(rM?)?ez(r?)?0 rdr2??0rdrr在r?0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r?0处存在磁化线电流Im。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有I?Im?1?0C?B?dl??I ?0H1(P1) H2(P1) ?l ?h 故得到Im?(??1)I ?0(???0)I er2??0rH1(P2) H2(P2) ?1 ?2 题5.9图 在磁介质的表面上，磁化电流面密度为JmS=M?ezz=0 1. 一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为U0sin?t，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
( 解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即E?erU0sin?t
rln(ba)Ucos?t?D ?er??0?trln(ba)故电容器两极板间的位移电流密度为Jd?则id?Jd?dS?s???02?l0??U0cos?trln(ba)er?errd?dz
?2??l2??l是长为l的圆柱形电容器的电容。 ?U0cos?t?C?U0cos?t 式中，C?ln(ba)ln(ba) 28
流过电容器的传导电流为ic?C1. 已知在空气中E?ey0.1sin10dU?C?U0cos?t可见id?ic dt9?cxos(6?10?t?)?z，求H和?。
(提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得?。)
2?E( 解 电场E应满足波动方程?E????0 002?t2将已知的E?eyEy?2Ey?x22式中?Ey?z22?Ey代入方程，得
?x2??2Ey?z2??0?0?2Ey?t2?0
??0.1(10?)2sin10?xcos(6??109t??z)?0.1sin10?x[??2cos(6??109t??z)]?2Ey?t2?0.1?0?0sin10?x[?(6??109)2cos(6??109t??z)]
?0?02故得?(10?)2??2??0?0(6??109)?0 则???300?54.41rad/m 由??E???0?H得
?t?E?E?H11????E??[?exy?ezy]?t?0?0?z?x??1?0[?ex0.1?sin10?xsin(6??109t??z)
?ez0.1?10?cos10?xcos(6??109t??z)]将上式对时间t积分，得
Η??1[ex0.1?sin10?xcos(6??109t??z]9?0?6??10?ez?cos10?xsin(6??109t??z)??ex2.3?10?4sin10?xcos(6??109t?54.41z)?ez1.33?10?4cos10?xsin(6??109t?54.41z)A/m
1. 在自由空间中，已知电场E(z,t)?ey10sin(?t??z)V/m，试求磁场强度H(z,t)。 ( 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
3E(z,t)?ey103cos(?t??z?)V/m
2这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为?90?。与之相伴的磁场为
H(z,t)?1??0ez?E(z,t)????ez?ey103cos??t??z???02??1103?????excos??t??z????ex2?65sin(?t??z)A/m120?2??
1. 均匀平面波的磁场强度H的振幅为
1A/m，以相位常数30rad/m在空气中沿?ez方向传播。当t=0和z=0时，若H的3? 29
取向为?ey，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。 ( 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式H??ey1cos(?t??z)A/m 3?与之相伴的电场为
E??0[H?(?ez)]?120?[?ey?ex40cos(?t??z)V/m1cos(?t??z)?(?ez)]3?
由????rad/m得波长?和频率f分别为
??f?2??0.21m?c??vp3?108 Hz?1.43?109Hz??0.21??2?f?2??1.43?109rad/s?9?109rad/s则磁场和电场分别为
1cos(9?109t?30z)A/m3?
9E?ex40cos(9?10t?30z)V/mH??ey1. 海水的电导率??4S/m，相对介电常数?r?81。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
??48.8?108??? ( 解 先判定海水在各频率下的属性??2?f??2?f?81?fr00?????f?????1，海水可视为良导体。此时??(1?j)?f? 可见，当f?107Hz时，满足???00c????10?103?4??10?7?4?0.126??0.396Np/m2?2?????15.87m?0.126?f=10kHz时
?c?(1?j)??10?10?4??1043?7
????100?103?4??10?7?4?1.26?Np/m2?2?????5m?1.26?f=100kHz时
?c?(1?j)??100?10?4??1043?7
??0.099(1?j)??0.314(1?j)?f=1MHz时
????10?4??10?4?3.96Np/m2?2?????1.587m?3.96??c?(1?j)??106?4??10?74?0.99(1?j)?6?7
????10?106?4??10?7?4?12.6Np/m2?2?????0.5mf=10MHz时?12.6?c?(1?j)??10?10?4??1046?7
?3.14(1?j)?当f=100MHz以上时，
???1不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时， ?? 30
??2?f??2?f?0??0?r?0?2??)2?1??1?(2?f?r?0????)2?1? ?1?(2?f?r?0???0?r?0?2?0(?r?0)1?j?(2?f?r?0)f=100MHz时
??37.57Np/m??42.1rad/m2????0.149m??c?42??14.05ej41.8?1?j8.9??69.12Np/m??203.58rad/m2? f=1GHz时????0.03m?0?42??36.5ej20.8?1?j0.89
1. 有一线极化的均匀平面波在海水(?r?80,?r?1,??4S/m)中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为
H?ex0.1sin(1010?t??/3)A/m
（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。
( 解 （1）???1010??80??1010??80?10?9?0.18
0可见，在角频率??1010?时，海水为一般有损耗媒质，故
???????2??1?()?1?2????80?0?0[1?0.182?1]?83.9Np/m2?44?36??1010????????2??1?()?1?2?????1010? 80?0?0[1?0.182?1]?300?rad/m2??1010???0.333?108m/s?300?2?2?????6.67?10?3m ?300?vp??c????1?j???080?01?j0.18?c?1??1?11.92?10?3m83.9?42.15?41.82ej0.028??1.008e?j0.028?（2）由0.01?0.1e??y即e??y?0.1得
y?1?ln10?1?2.303m?27.4?10?3m 83.9?3（3）H(y,t)?ex0.1e?83.9ysin(1010?t?300?y?)A/m
?j3 其复数形式为H(y)?ex0.1e?83.9ye?3j00?yeA/m?故电场的复数表示式为
E(y)??cH(y)?ey?41.82ej0.028??0.1e?83.9y?e?ez4.182eE(y,t)?Re[E(y)ej?t]?83.9y?j(300?y??)32??ex?eye?j(300?y??0.028??)32??
V/m则
?ez4.182e?83.9ysin(1010?t?300?y??3?0.028?)V/m
31