例二、如图， ☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)
A P B . O T . O1 22
结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT+BT=AB)
2
结论3: ∠BAT=∠TBO1 结论4: ∠OTA=∠PTB 结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT
结论7:ΔOAT∽ΔPBT 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T 设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr
结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr 结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点.
说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。本题是由初三几何书上的例题改编的，对基本图形的再认识，对图形间
的内在关系的深刻挖掘，有助于透彻理解知识。
例三、已知二次函数ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ａ（－３，６）、和ｘ轴交于点Ｂ（－１，０）和点Ｃ，抛物线的顶点为Ｐ.
（１）求这个函数的解析式；
（２）线段ＯＣ上是否存在点Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ 分析：函数的解析式为ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２
＝１／２（ｘ－１）２－２，
各点坐标分别为：Ａ（-3，6）、Ｂ（-1，0）、Ｃ（3，0）、
Ｅ（-3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，-2）.
设存在点Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD.作AE⊥x轴于点E，则ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，
∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD ∴ΔABC∽ΔPDC∴AC:ＰＣ＝ＢＣ:ＤＣ，即６√２ : ２√２＝４ :(3-a) 解之得:a=5/3. ∴存在这样的点D(5/3,0),使∠CAB=∠CPD.
A y E B O F D C P x
说明：本题是代数与几何结合的探索性题，涉及的知识点多，难点是寻求数与形的结合点，用到的数学思想方法多，如数形结合思想，方程思想，转化思想，待定系数法，配方法，采用观察、试验、猜想、比较等方法，把角相等转化为三角形相似，利用对应边成比例的关系得出方程，从而解决问题。与函数有关的探索题如果所求的点在图象上，有
时还要代入解析式，利用方程组来解决问题。
三、巩固训练
1、已知AC、AB是☉O的弦，AB > AC,（如图）能否在AB 上确定一点E，使AC2=AE2AB
分析：作 AM=AC，连结CM交AB于点E，连结CB，可证ΔACE ∽Δ ABC，即可得出结论。
A E C
. M o B
2、关于ｘ的方程x２-（5k+1）x+k２-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和为4？若存在，求出满
足条件的k的值；若不存在，说明理由。 提示：设方程的两个实数根为x1、x2.
由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k-2.
2
由题意知得方程,化简得 4k-5k-9=0, ∴ k1=-1,k2=9/4(不合题意,舍去) 把k=-1代入根的判别式,Δ=20>0.
∴ 存在满足条件的k,k=-1.
3、已知一次函数Y=-X+6和反比例函数Y=k/x（k≠0）.(1)k满足什么条件时,这两个函数在(2)设(1)中的两个公共
点分别为A、Ｂ，∠ＡＯＢ是锐角还是钝角？ 答案：（1）k<9且k≠0：
（2）分两种情况讨论当0 四、拓展应用 1、如图,在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）， 那么(1)当t为何值时，ΔQAP为等腰三角形？ （2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形 与ΔABC 相似？ 2 D Q C A P B 解：（1）对于任时刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t。 当QA=AP时，ΔQAP为等腰三角形，即6-t=2t，解得t=2（秒）， ∴当t=2秒时，ΔQAP为等腰三角形， （2） 在ΔQAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12， ∴SΔQAC=1/2QA2DC=1/2（6-t）212=36-6t. 在ΔAPC中,AP=2t,BC=6, ∴SΔAPC =1/2AP2BC=1/222t26=6t. ∴S四边形QAPC= SΔQAC + SΔAPC =(36-6t)+6t=36(厘米2) （3）略解：分两种情况讨论： ①当QA :AB=AP:BC时，ΔQAP∽ΔABC， 可解得t=1.2（秒） ②当QA:BC =AP:AB时， ΔPAQ ∽Δ ABC，可解得t=3（秒） ∴ 当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ΔABC相似. 2、如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连结FC（AB>AE）。 （1）ΔAEF与ΔECF是否相似。若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由。 （2）设AB/BC=k，是否存在这样的k值，使得ΔAEF与ΔECF相似？ 若存在，证明你的结论； 若不存在，说明理由。 A F E D B C 七．函数及图象 一、总述 函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。 二、复习目标 1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标。 2、会从不同角度确定自变量的取值范围。 3、会用待定系数法求函数的解析式。 4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。 5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。 三、知识要点 初等函数 函 一次函数 二次函数 反比例函数 定义 图 像 性 质 综 合 运 用 数 概 念 研究方法 平面直角坐标系 点的坐标特征 解析式 (一)平面直角坐标系中，x轴上的点表示为(x，0)；y轴上的点表示为(0，y)；坐标轴上的点不属于任何象限。 (二)一次函数 解析式：y = kx + b(k、b是常数，k ≠0)， 当b = 0时，是正比例函数。 (1)当k ＞0时，y 随 x 的增大而增大； (2)当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。 (三)二次函数 1、解析式： (1)一般式：y = ax2 + bx + c (a≠0 ); (2)顶点式：y = a ( x – m ) 2+ n，顶点为(m , n); (3)交点式：y = a (x – x1 ) ( x－x2 )，与x 轴两交点是(x1,0)，(x2,0)。 2、抛物线位置由a、b、c决定。 (1)a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上;a＜0开口向下。 (2)c决定抛物线与y轴交点的位置： ① c＞0图象与y轴交点在x轴上方； ② c＝0图象过原点； ③ c＜0图象与y轴交点在x轴下方。 (3)a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x??① a、b同号对称轴在y轴左侧； ② b = 0对称轴是y轴； ③ a、b异号对称轴在y轴右侧。(4)顶点(?2b2a。 b2a,4ac?b4a)。 (5)△= b2－4ac决定抛物线与 x 轴交点情况： ① △＞0抛物线与 x 轴有两个不同交点； ② △＝0抛物线与 x 轴有唯一的公共点； ③ △＜0抛物线与 x 轴无公共点。(四)反比例函数 解析式：y?kx(k?0)。 (1)k＞0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； (2)k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大. 四、例题选讲 例1．为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度y cm与点燃时间 x 分钟之间的关系是一次函数，已知点燃6分钟后的长度为17.4 cm，21分钟后的长度为8.4 cm。 （1）求点燃10分钟后艾条的长度。 （2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。 解：（1）令 y=k2x+b， 当 x=6 时，y=17.4，当x=21时 y=8.4，则 6k+b=17.4 21k+b=8.4 解得 k??35 b?21 ?y与x之间的函数关系式为当x?10时y??35y??35x?21 ?10?21?15,15cm. 所以点燃10分钟后艾条的长为(2)艾条全部烧完，即y=0， 令?35x?21?0，解得：x=35， 因此，点燃35分钟后艾条全部烧完。 例2．小明从斜坡O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是y?4x?12x，斜坡的直线方程是y?212x，其中y 是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）。 ⑴网球落地时撞击斜坡的落点为A ，求出A 点的垂直高度，以及A 点与O点的水平距离。⑵求出网球所能达到的最高点的坐标。 y 分析: （1）∵A 点的垂直高度就是点A的纵坐标， B x O A 点与O点的水平距离就是点A的横坐标，而点A既在抛物线上又在直线上 ∴只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。 （2）求最高点即抛物线顶点B的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标的公式即可求出。 A 12?y?4x?x??2解：(1)由方程组?解得A点坐标（7，3.5），求得A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离 ?y?1x??2(2)?y?4x?为7米。 12x??2212(x?8x)??212(x?8x?4?16) 22??12(x?4)?8?最高点B的坐标为(4,8). 例3若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数y??1x的图像上,则 (A)y1>y2>y3 (B)y2>y1>y3 (C)y3>y1>y2 (D)y1>y3>y2分析：∵函数y??的图像在第二、四象限， y xy随着x的增大而增大，又第二象限的的函数 值大于第四象限的函数值 ∴y2>y1>y3，选(B) 1-1 O 1 x