解得x=
43a， ∴EF=
43a.
例3．已知：如图，⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=25 （1） 求证：EF是⊙O1的切线； （2） 求线段CF的长； （3） 求tan∠DAE的值.
分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知 EF是⊙O1的切线.
（2）由已知条件DE=2，AE=25，且EA、EDC分别是⊙O1的切线
CFA和割线，运用切割线定理
O1O2DEEA=ED2EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从CF= x，则FE= x+25.又CE=10，由勾股定理可得：（x+25）CF=45.
2
而FC=FA.在Rt△EFC中，设
2
22
= x+10，解得 x=45.即
B（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值. 解：（1）连结O1A，
∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF ∴EF是⊙O1的切线..
（2）∵DE=2，AE=25，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线 ∴EA2=ED2EC，∴EC=10
由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+25.又CE=10，由勾股定理可得：（x+25）2= x2+102，解得 x=45.即CF=45. （3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）
作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥A O1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG=解法二：（等角转化）
连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求
ADACAECE251055ADAC55ADAC43,AG?453, 从而tan∠DAE=
55.
的值即可.观察和分析
55图形，可得△ADE∽△CAE，???.从而tan∠ACD=?，即tan∠DAE=.
说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.
（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.
例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.
F（1） 求⊙A的半径；
（2） 求CF的长和△AFC的面积. 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，2
=42+AD2，解得AD=3.
（2） A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴
CGBAAC=CD+AD，∴（2+AD）
222
EMD
CE=
BC2
2?BE2?232?122?10
10.又∵∠B=∠AGE=90，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴
0
由CE2CF=CD，得CF=
CDCE?410365?85BCAG?CEAE，即
3AG?103,S△AFC=
12CF2AG=.
例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=63，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F. （1） 求∠B的度数；
（2） 求CE的长.
分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性转化.
解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根， ∴Δ=（-4cosB）2-4=0.∴cosB=又∵∠B为锐角，∴∠B=600.
（2） 点A作AH⊥BC，垂足为H. S△ABC=
121212OEBHCFAD质，解题时应注意线段的
，或cosB=-
12（舍去）.
BC2AH=
12BC2AB2sin600=63，解得AB=6
32在Rt△ABH中，BH=AB2cos600=63=3，AH=AB2sin600=63?33，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt△ACH中，
220
AC+CH=27+1=28.∴AC=?27（负值舍去）.∴AC=27.连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180，∴∠
ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC=27.
例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长. 分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算. 解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴
BCAC?BECE?12CA△ECB∽△EAC，
DBE，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0BC=4，AC=8.
∠CBD. ∵∠
的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；AC2BC=r2-4，解得r=6，∴（2） CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=90，∠CFA=
CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，CD=
AC?BCCF?8?412?83ACCD?CFBC0
O.∴
F.
说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试. 例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，长和∠FCB的正切值.
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90. ∴∠CAB+∠B=90，又∠
0
0
∠PAC=∠B.
CPAE∶EB=2∶3，求AB的
AOBPAC=∠B，∴∠CAB+∠
FD
PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线. （2） 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3 x.
由相交弦定理，得2x23x=5a26a ∴x=5a. 连结AD.由△BCE∽△DAE，得
BCAD?EBED?355.连结BD.由△BED
∽△CEA，得
BDAC?BEAE?52.
∴BD=45.由勾股定理得BC=∴
ABAB22AB2?8，AD=
2AB?(45)2.
?10（负值舍去）.
?82?2355.两边平方，整理得AB2?100，∴AB?(45)∴AD=25.∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB= tan∠BAD=
BDAD?4525?2.
解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.
九．几何应用题 几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。
一、三角形在实际问题中的应用
例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90o，AC=80米，BC=60米。
（1） 若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；
（2） 若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水
渠的造价最低？最低造价是多少？
C 分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路
线，最低造价几个概念。 1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短
路线即为线段CE。 2．水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。
BAE 本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。 D解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE。 在Rt△ABC中，AB=∴CE=
12AC2?BC2?80?6022?100（米）。
AB=
123100=50（米）。
即从入口E到出口C的最短路线的长为50米。
（3） 当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。
∵CD?AB=AC?BC，∴CD=∴AD=
AC2AC?BCAB2?60?80100?48(米）。
?CD2?80?482=64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为48?10=480
元。
例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌
面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加
工损耗忽略不计，计算结果中的
B分
D数可保留）。
FAEC
分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求
解边长，边长大则面积大。
解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴
即
2?x2?x1.5CDCB?DEAB，
，解得x?67。如图，过点B作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC
＝2米，S△ABC＝1. 5平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴
GHF二、几何设计问题
例3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今
ACDPEBPBH?DEAC，即
1.2?y1.2?y2.5，解得y?3037。因为
67B?3037，即x?y，x2?y2，所以甲同学的加工方法符合要求。
要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形与△ABC的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。 分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。 解：可以设计如下四种方案：
AA
CCAr1?22Ar2?4r3?2OBCr4?42?4BCBOB
例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边
形不限）。
方案一 方案二
方案三 方案四