分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来
考虑。
解：
三、折线运动问题 例5. 如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点
D出发沿直线匀速航
行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍． (1) 选择：两船相遇之处E点在 ( )．
（A）线段AB上 （B）线段BC上 （C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上
(2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)
分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE
A
解：（1）B （2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里．
过D作DF⊥CB，垂足为F，连结DE．则DE=x，AB+ BE=2x． ∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中点，
∴DF＝100，EF＝300－2x．
在Rt△DEF中，DE 2＝DF 2 +EF 2， ∴x 2＝100 2+(300－2x) 2 解之，得x?200?10036D C
A
B
．
D∵200?10036＞200，
CFEB∴DE=200?10036．
10036)海里．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了(200?四、综合类几何应用
例6 .如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30o，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，
周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
A
分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题 要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN
M 的距离AB，当此AB≤100米时就要受到噪声影响；第二 个问题只需要噪声影响路段的长度，解：过点A作AB⊥MN，垂足为B 在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
则AB=
12ABMPDQNN P Q
就能求出受影响的时间。
AP=80米，所以
C学校会受到噪声影响。
以A为圆心，100米为半径作☉A,交MN于C、AC=100米，AB=80米 则：BC=
AC2D两点，在Rt△ABC中：
?AB2?1002?802?60（米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小时=5米/秒 ∴受影响时间为：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共部分是
0.1米，围成的围墙高2.5米（如下图）
(1) 若先用6块帆布缝制成宽为2.5米的条形，求其长度； 5米 2.5米 0.1米 (2) 若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数关系式； (3) 要使围成的圆形场地的半径为10米，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙?
分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。 解：(1)6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为635－530.1＝29.5(米)
(2)x块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x (3) 要围成半径为10米的圆形场地，则2π310＝4.9x
x?20?4.9?62.84.9?12.82(块)
要到商店买这样的帆布13块。
解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握，只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好几何应用问题的解决方法。
练习：
1、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球?）的直径。某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：
如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径。若测得AB的长为40 cm，∠ABC＝30°。请你计算出球的直径（精确到1 cm）。
C D F E A
30B
2、 如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东
60°方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（253+25）米，求AB之间的距离。
CAB
3、 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终
经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。 探究：设A，P两点间的距离为x。
（1） 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（2） 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （3） 当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（图1，图2，图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）
A D A D A D
B C B C B
十．初中几何综合复习
首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。
那么，什么是折叠问题呢？
这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们将对它们分别进行讨论 一. 折叠的意义
1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180o，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。
l
B?
C
B′
D B
C
A
O 图1
A
图2
B
如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OBˊ是OB在折叠前的位置；
图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△ABˊC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；
(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形
如图如图（1）中OBˊ=OB； 如 图（2），△ABˊC≌△ABC；
(3) 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 如图（1）OBˊ和OB关于直线l成轴对称； 如图（2）△ABˊC和△ABC关于直线AC成轴对称。 二．和折叠有关的问题
图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。 C 问题1:
将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分△AˊEF.
（a）△AˊEF是什么三角形？ 结论： 三角形 A E?F是等腰三角形
证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,
又∵矩形的对边是平行的∴∠1= ∠3,∴ ∠2= ∠3, ∴ A?E= A?F 三角形 A E?F是等腰三角形 方法二： ∵图形在折叠前和折叠 后的形状、大小不变， 只是位置不同 ∴表示矩形宽度的线段EP和 FQ相等，即? AˊEF的边 AˊE和 AˊF上的高相等， ∴ AˊE= AˊF 三角形 A E?F是等腰三角形 (b)改变折叠的角度α的大小， 三角形AˊEF的面积是否会改变？ 为什么? 答：不会改变。 分析： α的改变影响了AˊE的长度，但却不 2 1 3 a
E AˊF P a Q Aˊ E F α AˊE 能改变边AˊE上的高，三角形AˊEF的 面积会随着α 的确定而确定. 例一：在上面的图中，标出点Aˊ在折叠前对应的位置A,四边形AˊEAF是什么四边形？ 分析：
（1）由前面的分析可知
ˊ