Aˊ与Aˊ在折叠前 的位置A关于折痕EF 成轴对称,所以作Aˊ关 E A
于EF的对称点即
Aˊ F 可找到点A（过点Aˊ作AˊA⊥ EF交矩形的边于点A）。 同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A。 （2）四边形AEAˊF是菱形
证法一：∵ A是Aˊ在折叠前对应的位置, ∴A和Aˊ关于直线EF轴对称 , ∴AAˊ⊥EF,且AO=AˊO,
又∵AE∥AˊF,∴EO∶OF=AO∶OAˊ, ∴EO=OF∴四边形AEAˊF是菱形 证法二：
A是Aˊ在折叠前对应的位置, ∴?AEF≌?AˊEF , AˊE=AˊE,AF=AF，
又∵?AEF是等腰三角形（已证）,AˊE=AˊF,
∴AE=AF=AˊE=AˊF,
∴四边形AEAˊF是菱形.
例2.在上题的图中,若翻折的角度α=30o,a=2, 求图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积.。 分析： E Aα B
F 图中被覆盖的部分△AˊEF DA是等腰三角形，其腰上的高就是原
ˊ C矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AˊF或AˊE的长。 答：S四边形AEAˊF＝2S△AˊEF= 833（解答过程略）
练一练：当α的大小分别45o 、60o时，图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积是多少？ AB α=45o α=60o DC
例题3. 如图：将矩形ABCD对折，
折痕为MN，再沿AE折叠，把B EC点叠在MN上，（如图中1的点P）, B若AB=√3,则折痕AE的长为多少？ P 分析：
MND
F p2A
折痕AE为直角三角形ABE的斜边，故解决本题的关键是求PE(或BE)的长。
解法一：由折叠的意义可知，AP⊥EP,
延长EP交AD于F, 则FE=FA(在问题一中已证)∵ M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC 且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,
又∠APE= ∠D=90°, ∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°∴AE=2。
∵ M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴ MN∥AD ∥BC且AN是AP的一半∴ MN⊥AN∴AE=AF 又FE=FA(问题1的结论)
∴AE=AF=EF, ∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30° ∴AE=2。
由BC//MN//DA且M、N分别为CD和AB的中点可得EP=PF，EO=AO ∴PO=
1212EAF， AE，
CMG又PO=
P BNH∴AE=AF
∴AE=AF=EF，∠EAF=60° （其余同上）
例题4.在例3中，若M、N分别为 CD、AB的 三等分点（如图）， AB=√5,其他条件不变，折痕
DF p2AAE的长为多少？ 分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出EB(或EP)的长
解：延长EP交AD于F, 则FE=FA(已证)
∵ M、N分别是矩形的边AB和CD的三等分点∴MN∥AD∥BC 且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,
设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x, 在直角三角形APF中有 AP2+PF2=AF2
∴5+(2x)2=(3x)2, ∴x=1, ∴AE2=1+5=6, ∴AE=
CEB6
MP N例4 如图3,有一张边长为3的正方形纸 片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B 折至折痕MN上,落在P点的位置,折痕为 AE.(1)求MP的长;(2)求以PE为边长的正方 形的面积. 分析：
F Dp2A将本题与例题2比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求PE和PN的长 解法一：
延长EP交AD的延长线于F, 则FE=FA(已证)
M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴ MN∥AD ∥BC且AN是AP的一半∴ MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°
3∴PN=
23，
3(1)∴MP=1-PN=3-
23,
AM又AP=3, ∴EP=
3，
BNC(2)∴以EP为边长的正方形的面积为3。 其他解法请同学们思考。
例5.如图，将矩形ABCD折叠， 使C点落在边AB上，（如图中的 M点），若AB=10,BC=6,求四边形
DCNMD的面积
分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形的边AB上，由折叠的意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四边形CNMD的面积的关键就是求ΔDCN或ΔDMN的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN)的长. 解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x, 在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2 ∴x2=（6-x）2+4 ∴x=
103
103?10=
1003S四边形CNMD=2S△DCN=
例6.将长为8，宽为6的矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF的长。（2）求三角形DEF的面积
分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分BD（O为BD的中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O为EF的中点，所
以
可设法先求出EO的长，或直接求EF的长,进而求三角形DEF面积。
解（法一）：
∵D、B关于EF成轴对称 ∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB, ∴△DOE∽△DCB
在Rt△DCB中，由勾股定理可得 BD=10
又AB//DC
∴EO:OF=DO:OB ∴DO=5
(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC
∴EO:6=5:8
∴EO=∴EF=
(2)S△DEF=
1215415212QAF O P BD 3
152E PCEF2DO=35=
754
解（法二）：
(1)过C作CP//EF，交AB于P ∵EF⊥DB ∴CP⊥DB
易得△CBP∽△DCB ∴CP:BD=CB:DC ∴CP?∴EF=
15210?628?152
12(2)S△DEF=EF2DO=
123
15235=
754
同学们，图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形； 2图形的翻折部分在折 叠前和折叠后的位置 关于折痕成轴对称； 3.将长方形纸片折叠
成如图所示的形状，图
中重叠的部分△A E?F是等腰三角形；
4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系；
5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。今天的讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好的成绩.
F a
AˊE