二次函数中的存在性问题
一、二次函数中相似三角形的存在性问题
1.如图，把抛物线y?x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y?(x?h)2?k. 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h、k的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
1、解：（1）∵由平移的性质知，y?(x?h)2?k的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴h??1，k??4。 （2）由（1）得y=?x?1??4.当y=0时，?x?1??4?0．
0)，B(1， 0). 解之，得x1??3，x2?1。∴A(?3，22又当x?0时，y=?x?1??4??0?1??4??3，∴C点坐标为（0，－3）。 又抛物线顶点坐标D（－1，－4），
作抛物线的对称轴x??1交x轴于点E，DF⊥ y轴于点F。
易知,在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18， 在Rt△CFD中，CD=1+1=2， ∴AC＋ CD＝AD。∴△ACD是直角三角形。 （3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC?18?32。 由△AOM∽ △ABC，得
3AM9AOAM, AM?2。 。即??4324ABAC22
2
2
2
2
2
22?9?2??4??81?9， 过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=?2164OG=AO－AG=3－?。又点M在第三象限，所以M（－，－）。
1
9
4343494
2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，
A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM?x轴于M， 是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、解：（1）设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c?a?0?，
? 4a?2b?c=0? a=1??∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得?9a?3b?c=3，解得?b=2。
?c=0?c=0??∴抛物线的解析式为y?x2?2x。
（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2， 则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。 ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。 ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。 故符合条件的点D有三个，
分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。 （3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）， 根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2． ∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似， 设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y?x2?2x，
1AMPM。即 x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）． ?3BOCO7711当x=时，y=，即P（，）。
9933BOPM②若△PMA∽△BOC，则，。 ?COBO①若△AMP∽△BOC，则
即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）． 故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。
2
1379二、二次函数中面积的存在性问题
3. 如图，抛物线y?ax2?bx?a>0?与双曲线y?
k
相交于点A，B． x
点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4． 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．
若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由． 3、解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入y?
?2?k
得， x
4k，∴k＝4。∴双曲线的解析式为：y?。
x?2设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴错误！未找到引用源。＝4，即m＝4n。∴n2＝1，∴n＝±1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。 把A、B点的坐标代入y?ax2?bx得，??a?b?4，
4a?2b??2?解得，a＝1，b＝3。∴抛物线的解析式为：y?x2?3x。 （2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入y?x2?3x得方程，x2?3x?4?0，解得x1＝－4，x2＝1（舍去）。 ∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝错误！未找到引用源。×5×6＝15。 （3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下：
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积 （同底：AB，等高：CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：y?2x?2，且CD∥AB，∴可设直线CD解析式为y?2x?p， 把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，p?12。∴直线CD相应的一次函数是：y?2x?12。
?y?x2?3x?x?3解方程组?，解错误！未找到引用源。得，?。∴点D的坐标为（3，18）。
y?18y?2x?12??
3
4.如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上， 其中A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分） (4)自编：在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标， 若没有，请说明理由。
y yP2P1_ AO _ Dx AOMNCP3DxB C B图3 图9
4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
?4a?c?0?a?1∴? 解之得：?；故y?x2?4为所求
?c??4?a?c??3（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
?2k?b?0?k?1设BD的解析式为y?kx?b，则有?，?，
??k?b??3?b??2故BD的解析式为y?x?2；令x?0,则y??2，故M(0,?2)
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，?AMB?90? 易知BN=MN=1， 易求AM?22,BM?2 1S?ABM??22?2?2；设P(x,x2?4)，
211依题意有：AD?x2?4?4?2，即：?4?x2?4?4?2
22解之得：x??22，x?0，故符合条件的P点有三个：P1(22,4),P2(?22,4),P3(0,?4)
4
三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线y?x2?bx?c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，
过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：
①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
yy BB CCAAOxOx
DD
26题图26题备用图5.解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
2
∵二次函数y=x+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴
，解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，
2
∵二次函数y=x﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3）， ∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+∴点E的坐标为（，）；
（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD． 可求出点F的坐标（，S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=×
），点D的坐标为（1，﹣4） ×（4﹣）+×
×（﹣1）=
；
，∴当t=时，EF的最大值为
，
5