②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=， 解得：m1=
，m2=
，∴P1（
，），P2（
，），
，
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，综上所述：所有点P的坐标：P1（
，），P2（
），
，），P3（，
）
能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
6
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图，直线y?3x?3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 6.解：（1）∵当x=0时，y=3
当y=0时，x=﹣1∴A（﹣1，0），B（0，3） ∵C（3，0）
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3） ∴3=a×1×（﹣3）∴a=﹣1
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x + 1）（x﹣3）=-x2
y B A O C x +2x+3·
(2)存在∵抛物线的对称轴为：x=
错误！未找到引用源。
=1·∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1
∵OA=OQ1，BO⊥AQ1 ∴AB=Q1B ∴Q1（1，0）· 当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m）
∴22+m2=12+（3﹣m）2 ∴m=1 ∴Q2（1，1） 当Q3A=AB时，设Q3（1，n） ∴22+n2=12+32
∵n＞0 ∴n=错误！未找到引用源。 ∴Q3（1，错误！未找到引用源。）
∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，错误！未找到引用源。）·10分
7
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题
7．如图，二次函数y= ?x2?ax?b的图像与x轴交于A(?，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形， 请直接写出D点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
y
C
x B A O
?111?2
7、解： (1) 根据题意，将A(?，0)，B(2，0)代入y= ?x?ax?b中，得??4?2a?b?0，
2???4?2a?b?033解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= ?x2?x?1，当 x=0时，y=1，
2251∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC=OA2?OC2=()2?12=。
2212在△BOC中，BC=OB2?OC2=22?12=5。
AB=OA?OB=?2=，∵AC 2?BC 2=?5= (2) 点D的坐标为(，1)。
3212525425=AB 2，∴△ABC是直角三角形。 4A y C O B x (3) 存在。由(1)知，AC?BC。
? 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
P y C A O BC的解析式为y= ?x?1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的， 所以设直线AP的解析式为y= ?x?b，
把点A(?，0)代入直线AP的解析式，求得b= ?，
∴直线AP的解析式为y= ?x?。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上， ∴点P的纵坐标相等，即?x2?x?1= ?x?，解得x1=，
32121452121412141212B x x2= ?(舍去)。当x=时，y= ?，∴点P(，?)。
? 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x?1。
P 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x?b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b= ?4，
∴直线BP的解析式为y=2x?4。∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等， 即?x2?x?1=2x?4，解得x1= ?，x2=2(舍去)。 当x= ?时，y= ?9，∴点P的坐标为(?，?9)。
525232521252325232 8
综上所述，满足题目条件的点P为(，?)或(?，?9)。
六、二次函数中菱形的存在性问题
8．如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D． 直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
523252
8．解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3） 又∵抛物线经过原点O ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx ∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上 ∴∴设抛物线的解析式为
．
， ，解得：
．
（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴若S△ADP=S△ADC， ∵
，
，
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点， ∴C（0，1）， ∴OC=1， ∴解得：
∴点P的坐标为 （3）结论：存在． ∵抛物线的解析式为
，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
，即
或
， ．
．
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5． 又∵A（4，0），∴AE=．
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如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形： ①菱形AEM1Q1．
∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣； ②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6； ③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4， ∵易知△AED∽△M4EH，∴
，即
，得M4E=， ，∴t4=
．
，∴t3=4+；
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形； 时间t的值为：t1=4﹣
，t2=6，t3=4+
，t4=
．
七、二次函数中与圆有关存在性问题
x219.抛物线y与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）(x?x，?0)， ?x??(12m)x?64?m12x2它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6， （1）求m的取值范围；
（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；
（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由 9. 解：（1）令y=0，则x2?(1?2m)x?6?m?0 ∵x1?x2，且x1?0，∴x1?0，x2?0 x2(2m?3，0)，B(2，0)，?2m?3，x?2B?2?(2m?3)?5?2m ∴x ∴A ∴A 12
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