2013年高考数学辅导材料-------------三角函数
一 专题综述
该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性. 二 考纲解读
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(
π
±α，π±α的正弦、2
余弦、正切)，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．
?ππ?2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在－，上的性质(如单调性、?22?最大和最小值、图象与x轴交点等)．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx
＝tanx.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 4.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）
5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
三.2013年高考命题趋向
1.在选择题或者填空题部分命制2～3个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的2～3个方面．试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大．
2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析．从难度上讲，如果是单纯的考
1
2013年高考数学辅导材料-------------三角函数
查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度． 由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点： (1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．
(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．
(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．
四．高频考点解读
考点一 三角函数的定义
例1 [20112课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( ) 例2 [20112江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－考点二 三角恒等变换
sin47?sin17cos30cos17????25，则y＝________. 5
例3（2012年高考重庆） （ ）
A．?32 B．?12 C．
12 D．32
??（2012年高考（陕西文））设向量a=(1.cos?)与b=(-1, 2cos?)垂直,则cos2?等于
22A
B
12 C．0 D．-1
（2012高考真题重庆）设tan?,tan?是方程x?3x?2?0的两个根，则tan(???)的值为 （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
2 2
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【2012高考真题山东】若???????4，37?2?，sin2?=，则sin??（ ） ?8（A）
3 （B）
4 （C）7 （D）
3
5544【2012高考真题辽宁】已知sin??cos??2，??(0，π)，则tan?=
(A) ?1 (B) ?22 (C) 22 (D) 1
【2012高考真题江西】若tan?+1 =4,则sin2tan??= A．
1 B.
1 C.
1 D. 1
5432【2012高考真题湖南】函数f（x）=sinx-cos(x+
?)的值域为
6 A． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-3 , 322]
【2012高考真题全国卷】已知α为第二象限角，sin??cos??33，则cos2α=
(A) -553 （B）-9 (C)
59 (D)53
（2012年高考江西）若
sin??cos??1,则tan2α=
（ ）sin??cos?2A．-3 B．344
C．-43
D．
43
（2012年高考大纲）已知?为第二象限角,sin??35,则sin2?? （ ）A．?2425 B．?121225 C．
25
D．
2425
（2012年高考大纲）当函数y?sinx?3cosx(0?x?2?)取最大值时,x?____.
【2012高考江苏】设?为锐角，若cos???????6??4，则?5sin(2a??12)的值为
3
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[20112福建卷] 若tanα＝3，则A．2 B．3 C．4 D．6
sin2α
的值等于( ) 2
cosα
πππ1πβ3
例4[20112浙江卷] 若0<α<，－<β<0，cos?＋α?＝，cos?－?＝，则22?4?3?42?3
β
cos?α＋?＝( )
?2?A.
33536 B．－ C. D．－ 3399
1π5π
例5 [20112广东卷] 已知函数f(x)＝2sin?x－?，x∈R.(1)求f??的值；
?36??4?
π?106?π??(2)设α，β∈0，，f3α＋＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值.
?2??2?135
【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:
（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
2??(???)?(???)，????2????2，
???2?????2?????等.
?2?(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如
cos?????cos??sin?????sin??cos?，tan??????1?tan?tan???tan??tan?.(4)
三角函数次数的降升：降幂公式有cos2??221?cos2?2，sin2??1?cos2?2与升幂公式有
1?cos2??2cos?，1?cos2??2sin?.
(5)式子结构的转化：对角、函数名、式子结构化同. (6)常值变换主要指“1”的变换：
??sin???等. 1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx?tan422222（7）辅助角公式：asinx?bcosx?a?bsin?x???(其中?角所在的象限由a、b的符
22号确定，?角的值由
btan??确定)在求最值、化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角?为特殊角的情况即可.实
a际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如
???sinx?cosx?2sin(x?4),sinx?3cosx?2sin(x?3),3sinx?cosx?2sin(x?6)等.
考点三 三角函数的性质
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例6【2012高考真题新课标】已知??0，函数f(x)?sin(?x?的取值范围是（ ）
?4)在(?2,?)上单调递减.则?15131(A)[,] (B) [,] (C) (0,] (D)(0,2]
24242x??（2012年高考大纲）若函数f(x)?sin（ ） (???0,2??)是偶函数,则??
3?2?3?5?
A．
2 B．
3 C．
2 D．
3
2012年高考大纲）若函数f(x)?sinA．
x??3(???0,2??)是偶函数,则??
（ ）
?2 B．
2?3 C．
3?2 D．
5?3
（2012年高考新课标理）已知??0,函数f(x)?sin(?x?取值范围是 15A．[,]
24?4)在(?2,?)上单调递减.则?的
（ ）
13B．[,]
241C．(0,]
2?（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为
6D．(0,2]
（ ）
32 A．[ -2 ,2] B．[-3,3] C．[-1,1 ] D．[-
32 , ]
π
[20112课标全国卷] 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜?的最小正
?2?
周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
?π??π3π?单调递减
A．f(x)在0，单调递减 B．f(x)在，
?2??44?
ππ3π?C．f(x)在?0，?单调递增 D．f(x)在?，单调递增
?2??44?
π
[20112安徽卷] 设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤?f???对一切x??6??
∈R恒成立，则
?11π?＝0；②?f?7π??
π2π??④f(x)的单调递增区间是kπ＋，kπ＋(k∈Z)． ?63?⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
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