2013年高考数学辅导材料-------------三角函数
例7 【2012高考真题北京】（本小题共13分）已知函数f(x)?(sinx?cosx)sin2xsinx。
（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)的单调递减区间。
【2012高考真题湖北】已知向量a?(cos?x?sin?x,sin?x)，b?(?cos?x?sin?x,23cos?x)，设函数f(x)?a?b??(x?R)的图象关于直线x?π对称，其中?，?为常数，且??(,1).
21（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若y?f(x)的图象经过点(,0)，求函数f(x)在区
4π间[0,3π5]上的取值范围.
【2012高考真题安徽】 设函数f(x)?22cos(2x??4（I）求函数f(x)的最小正)?sinx。
2周期；（II）设函数g(x)对任意x?R，有g(x?g(x)?1?2)?g(x)，且当x?[0,?2]时，
?f(x)，求函数g(x)在[??,0]上的解析式。
2【解题技巧点睛】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查.在众多的性质中，三角函数的图象的对称性是一个高考的热点.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象. 考点四 三角函数的图像
例8 【2012高考真题浙江】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
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【2012高考真题湖南】函数f（x）=sin (?x??)的导函数其中，P为图像与y轴的交点，y?f?(x)的部分图像如图4所示，
A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.（1）若??332?6，
点P的坐标为（0，），则?? ;（2）若在曲线段?ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .
（2012年高考福建）函数f(x)?sin(x?A．x??4)的图像的一条对称轴是 （ ）
?4 B．x??2 C．x???4 D．x???2
（2012年高考天津）将函数f(x)?sin?x(??0)的图像向右平移
过点(A．
13?4个单位长度,所得图像经
（ ）
3?4,0),则?的最小值是
B．1 C．
53 D．2
（2012年高考安徽）要得到函数y?cos(2x?1)的图象,只要将函数y?cos2x的图象
A．向左平移1个单位 C．向左平移
12（ ）
B．向右平移1个单位 D．向右平移
12个单位 个单位
例9[20112天津卷] 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)
π
的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
2
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
ππ
例10 [20112课标全国卷] 设函数f(x)＝sin?2x＋?＋cos?2x＋?，则( )
?4??4?
ππ
A．y＝f(x)在?0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称
?2?4
ππ
B．y＝f(x)在?0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称
?2?2
7
2013年高考数学辅导材料-------------三角函数
?π?单调递减，其图像关于直线x＝π对称 ?2?4
ππ
D．y＝f(x)在?0，?单调递减，其图像关于直线x＝对称
?2?2
C．y＝f(x)在0，
【解题技巧点睛】
1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函
ππππ
数y＝sin?2x＋?的图象向左平移个单位时，得到的是函数y＝sin??2?x＋?＋??＝sin2x?4?12??12?4?5π＋的图象． 12
3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
考点五 与三角相关的最值问题
2例11【2012高考真题陕西】在?ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2?b2?2c，
则cosC的最小值为（ ） A. 32 B. 22 C.
12 D. ?12
【2012高考真题天津】在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC= ( )（A）
【2012高考真题湖北】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若(a?b?c)(a?b?c)?ab，则角C? ．
【2012高考真题北京】在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=?14725 （B）?725
（C）?725 （D）
2425
，则b=_______。
【2012高考真题安徽】设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是
_____
①若ab?c；则C?2?3 ②若a?b?2c；则C??32 ③若a?b?c；则C?333?2
④若(a?b)c?2ab；则C?
?2 ⑤若(a?b)c?2ab；则C?2222?3
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【2012高考真题福建】已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC、ED则sin?CED?（ ） A、
31010 B、
1010 C、510 D、515
【2012高考真题辽宁】 在?ABC中，角A、B、C的对边
分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。(Ⅰ)求cosB的值； (Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值。
????????????????【2012高考江苏】在?ABC中，已知AB?AC?3BA?BC．（1）求证：tanB?3tanA；
（2）若cosC?55，求A的值．
[20112课标全国卷] 在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________． 例12 [20112湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC. (1)求角C的大小；
π
(2)求3sinA－cos?B＋?的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
?4?例13[20112福建卷] 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，
?13?
始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. (1)若点P的坐标为?，?，
?22?
x＋y≥1，??
求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：?x≤1，
??y≤1
上的一个动点，试确定角θ的
取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
【解题技巧点睛】三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的下面三种类型：
（1）可化为y?Asin（?x??)?B型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到y?Asin（?x??)?B的形式，然后借助题目中给定的x的范围，确定?x??的范围，最后利用y?sinx的图象确定函数的值域. 如：y?asinx?b、
y?asinx?bcosx?cy?asinx?bsinxcosx?ccosx等.
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(2)可化为y?f(sinx)型求函数的值域： 首先借助三角公式，把函数化成y?f(sinx)型，然后采用换元法，即令t?sinx?[?1,1]，构造关于t的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：y?asin2x?bsinx?c、y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c可转化为二次函数求值域；y?sinx?asinx(3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含
、y?atanx?bcotx可转化为对号函数求值域.
义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如y?常转化为直线的斜率的几何含义求解. 考点六 解三角形的相关问题
asinx?bccosx?d，
例14【2012高考真题重庆】设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA?cosB?51335，
,b?3则c?
【2012高考真题上海】在?ABC中，若sin2A?sin2B?sin2C，则?ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【2012高考真题新课标】已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，
acosC?3asinC?b?c?0 (1)求A （2）若a?2，?ABC的面积为3；求b,c.
23【2012高考真题浙江】在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝＝5cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝2，求?ABC的面积．
，sinB【2012高考真题全国卷】三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.
【2012高考真题浙江】(本小题满分14分)在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝5cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝2，求?ABC的面积．
32 [20112安徽卷] 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
π
例15 [20112北京卷] 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
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例16 [20112福建卷] 如图1－5，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
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