29．（2006?西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC
的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC=90°（如图）
附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，
试探究线段DE与AM之间的关系．解答：解：（1）分三种情况；
当∠BAC=90°，M是BC的中点∴AM=BM=MC=
∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD
∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM同理当∠BAC＞90°，易得ED＜2AM当∠BAC＜90°，易得ED＞2AM
2）已知（1）的结论，若∠BAC=90°，可得ED=2AM 附加：结合上题可得：2AM=DE 延长CA到F使AF=AC，连接BF 易证△ABF≌△ADE ∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．
30．（2007?咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1． 操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上． 探究：
（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）
（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b． ①求b与k的函数关系式； ②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．
解答：解：（1）
（2）令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=b， ∴E（0，b），F （0，﹣），
①如图设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，0），连接EM，根据折叠知道EF⊥OM，而MD⊥OD， ∴△EOF∽△MDO， ∴
，而OE=b，OF=﹣，DM=m，OD=1，
代入比例式中得到m=﹣k，在Rt△EDM中，EM2=ED2+DM2，而根据折叠知道OE=EM， ∴b2=（1﹣b）2+（﹣k）2，∴b=
；
=b
，∵k＜0，∴EF=﹣
，
②在Rt△OEF中，EF2=OE2+OF2，∴EF=
∵OE=b＜1，OF=﹣＜2，∴﹣1＜k＜﹣2．
3．（2010?贵港）如图所示，已知直线y=kx﹣1与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣3，2）、B（0，﹣1）两点，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣2），对称轴交直线AB于点D，连接OC． （1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下所得的三角形是否与△OCD相似？请直接写出判断结果，不必写出证明过程．
解答：解：（1）∵直线y=kx﹣1经过A（﹣3，2），∴把点A（﹣3，2）代入y=kx﹣1得： 2=﹣3k﹣1，∴k=﹣1， 把A（﹣3，2）、B（0，﹣1）、C（﹣1，﹣2）代入y=ax2+bx+c得∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣1． （2）由
得D（﹣1，0），即点D在x轴上，
，∴
，
且|OD|=|OB|=1，∴△BDO为等腰直角三角形，∴∠BDO=45°， ①过点D作l1⊥AB，交y轴于E，交抛物线于P1、P2两点，连接P1A、P2A， 则△P1AD、△P2AD都是满足条件的直角三角形， ∵∠EDO=90°﹣∠BDO=45°，∴|OE|=|OD|=1，∴点E（0，1）， ∴直线l1的解析式为y=x+1， 由
解得：
或
，
∴满足条件的点为P1（﹣2，﹣1）、P2（1，2）； ②过点A作l2⊥AB，交抛物线于另一点P3，连接P3D，则△P3AD是满足条件的直角三角形， ∵l1∥l2且l2过点A（﹣3，2） ∴l2的解析式为y=x+5， 由
解得：
或
（舍去），
∴P3的坐标为（2，7），
综上所述，满足条件的点为P1（﹣2，﹣1）、P2（1，2）、P3（2，7）．
（3）∵P1（﹣2，﹣1），A（﹣3，﹣2），D（﹣1，0）， ∴P1D=，AD=2；
而OC=1，CD=2，即P1D：AD=OC：CD，又∵∠OCD=∠P1AD=90°，∴△P1AD∽△OCD， 同理可求得△P2AD与△OCD不相似，△P3AD与△OCD不相似； 故判断结果如下： △P1AD∽△OCD，△P2AD与△OCD不相似；△P3AD与△OCD不相似．
4．（2010?顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：
相交于点P（﹣
1，0）．
（1）求直线l1、l2的解析式；
（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…
照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，… ①求点B1，B2，A1，A2的坐标； ②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标；并求当动点C到达An处时，运动的总路径的长？
解答：解：（1）∵y=kx+b平行于直线y=x﹣1，∴y=x+b∵过P（﹣1，0），∴﹣1+b=0， ∴b=1∴直线l1的解析式为y=x+1；（1分）∵点P（﹣1，0）在直线l2上，∴∴
；∴直线l2的解析式为
；（2分）
；∴x1=1； ；
（2）①A点坐标为（0，1），则B1点的纵坐标为1，设B1（x1，1），∴
∴B1点的坐标为（1，1）；（3分）则A1点的横坐标为1，设A1（1，y1）∴y1=1+1=2；∴A1点的坐标为（1，2）；（4分）同理，可得B2（3，2），A2（3，4）；（6分） ②经过归纳得An（2n﹣1，2n），Bn（2n﹣1，2n﹣1）；（7分）
当动点C到达An处时，运动的总路径的长为An点的横纵坐标之和再减去1， 即2n﹣1+2n﹣1=2n+1﹣2．（8分） 5．（2010?淄博）已知直角坐标系中有一点A（﹣4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
（1）求满足条件的所有点B的坐标；
（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）； （3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．
解答：解：作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA=
=5．
（1）当OA=OB=5时，
如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（﹣5，0）； 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）；
当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（﹣8，0）； 当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8． 由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA， 则
，解得OB=
，点B的坐标为（﹣
，0）．
（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（﹣4，3），B（﹣8，0）三点， 设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx， 可得方程组
．
（3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°， △AOC∽△PBE，代入
．设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m﹣8，﹣3m）， ，解得m=3；则点P的坐标为（4，﹣9），S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48． ，解得a=
，
，∵
；当OA=OB时，同理得