若OP∥AB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（﹣12，﹣9），S梯形
AOPB=S△ABO+S△BPO=48
当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°， △AOC∽△PBF，代入
；设BF=4m，PF=3m，则点P的坐标为（4m﹣5，﹣3m）， ，解得m=．则点P的坐标为（1，﹣），S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=
．
若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°， △ABC∽△POF，代入
；设点P的坐标为（﹣n，﹣3n），
，解得n=9；则点P的坐标为（﹣9，﹣27），S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75．
7．（2006?河北）探索： 在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= a （用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= 6a （用含a的代数式表示）． 发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍． 应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？ 解答：解：（1）∵BC=CD， ∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a； （2）2a；（2分）理由：连接AD，
∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a； （3）结合（2）得：2a×3=6a； 扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍． 应用拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）． 8．（2007?兰州）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A（x0，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=﹣1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D． （1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；
（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．
解答：解：（1）∵点A与点B关于直线x=﹣1对称，点B的坐标是（2，0）
∴点A的横坐标是
=﹣1，x0=﹣4，故点A的坐标是（﹣4，0）（1分）∵tan∠BAC=2即=2，
可得OC=8 ∴C（0，8）（2分）∵点A关于y轴的对称点为D∴点D的坐标是（4，0）（3分） （2）设过三点的抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4）代入点C（0，8），解得a=1（4分）∴抛物线的解析式是y=x2﹣6x+8；（5分） （3）∵抛物线y=x2﹣6x+8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点 ∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4（6分）而抛物线的顶点为（3，﹣1）当y＞3时S=4（y﹣3）=4y﹣12
当﹣1≤y＜3时S=4（3﹣y）=﹣4y+12（8分）
（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大 ∴当x=3，y=﹣1时，h=4S=|MN|?h=4×4=16∴满足条件的平行四边形面积有最大值16．（10分）
9．（2011?江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨： 定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 1 个、 2 个、 3 个大小不同的内接正方形．
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小． 任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明； （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．
解答：解：（1）1，2，3．（3分）
（2）乙同学的结果不正确．（4分） 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则
．
如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．设它的边长为a，则依题意可得：
，∴
，
如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．设它的边长为b，则依题意可得：，
∴．∴a＞b．（7分）
（3）丙同学的结论正确． 设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc． 依题意可得：
=
，∴xa=
．同理xb=
．
∵xa﹣xb=﹣=﹣=2S（﹣）=（b+hb﹣a﹣ha）．
=（b+﹣a﹣）．=?（b﹣a）（1﹣
）．=
?（b﹣a）（1﹣）．
又∵b＜a，ha＜b，∴（b﹣a）（1﹣
）＜0，∴xa＜xb，即xa2＜xb2．
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．（10分）
14．（2006?辽宁）某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行工作分工，或采摘蔬菜，或对当
日采摘的蔬菜进行精加工．每人每天只能做一项工作．若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48kg；若对采摘后的蔬菜进行精加工，每人每天可精加工32kg（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）．已知每千克蔬菜直接出售可获利润1元，精加工后再出售，每千克可获利润3元．设每天安排x名工人进行蔬菜精加工．
（1）求每天蔬菜精加工后再出售所得利润y（元）与x（人）的函数关系式；
（2）如果每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出的利润为w元，求w与x的函数关系式，并说明如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大？最大利润是多少？ 解答：解：（1）y=3×32x，∴y=96x；（3分）
（2）w=96x+[48（100﹣x）﹣32x]×1，∴w=16x+4800（08分），由题意知：48（100﹣x）≥32x，解得x≤60（10分），
∵w=16x+4800，K=16＞0，∴w随x的增大而增大∴当x=60时，w有最大值，w最大=16×60+4800=5760（元）． ∴安排60人进行精加工，40人采摘蔬菜，一天所获利润最大，最大利润5760元．（12分） 16．（2006?凉山州）阅读材料，解答下列问题： 求函数y=解．∵y=
（x＞﹣1）中的y的取值范围．
∵
∴y＞2
（x、y为正数）；此不等式说明：当正数x、y
在高中我们将学习这样一个重要的不等式：的积为定值时，其和有最小值． 例如：求证：x+≥2（x＞0）证明：∵利用以上信息，解决以下问题： （1）求函数：y=
中（x＞1），y的取值范围．
∴x+≥2
（2）若x＞0，求代数式2x+的最小值． 解答：解：（1）y=1+
，
∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴y＞1． （2）∵（2x+≥
）2≥0，∴（
，∴2x+的最小值为4
）2﹣2．
?
+（
）2≥0，∴2x+≥2
?
，
17．（2006?重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P． （1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=S△ABC；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）D1E=D2F． ∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2．又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1 ∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A∴AD2=D2F．同理：BD1=D1E．又∵AD1=BD2，∴AD2=BD1．∴D1E=D2F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6， ∴由勾股定理，得AB=10．即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5又∵D2D1=x，∴D1E=BD1=D2F=AD2=5﹣x．
∴C2F=C1E=x在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为设△BED1的BD1边上的高为h，由探究，得△BC2D2∽△BED1， ∴
．∴h=
．S△BED1=×BD1×h=
．
（5﹣x）2又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠FPC2=90度．
x2
x（0≤x≤5）．
又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=而y=S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P=S△ABC﹣（3）存在． 当y=S△ABC时，即﹣
x2+
（5﹣x）2﹣
x2∴y=﹣
x2+
x=6，整理得3x2﹣20x+25=0．解得，x1=，x2=5．
即当x=或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的．
二．填空题（共3小题）
19．如图所示，四边形ABCD是某个圆的圆外切四边形，已知∠A=∠B=120°，∠D=90°，且BC=1，则AD的长为 ．
解答：解：设⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H， 连接OA，OB，OE，OD，OG，OH； 设AH=x，则AE=BE=BF=x，OE=x!， ∴圆的半径是x； ∵等腰直角三角形ODG，∴DG=DH=x，∵B，O，G三点共线，∴BG=（2+∴CG=CF=（2
+3）x，∴x+（2
+3）x=1，∴x=
，∴AD=（
+1）x=
）x；∵∠C=30°，
．