六、电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度．（共
10分）
解：由高斯定理
??Q2 E?r?a时，?E?ds?4?rE?Q4??0r2?0 （2分）
?写成矢量式得 E??Qr4??0r3 （1分）
r?a时，球面所围电荷为
43?r??343?r3Q43?3Qra33 （1分）
?a??3???QrQr2E?ds?4?rE? E? （2分） 33?0a4??0ar?a时，?r?0 ??????E?Q4??0?rr3?0 （r?0） （2分）
???rr3?0 （2分）
7. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为?，使介质球内均匀带静止自由电荷?f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。
当r?r1时，D1?0， E1?0。
当r1?r?r2时， 4?rD2??D2?(r?r1)?f3r233243?(r?r1)?f (r?r1)?f3?r23333 ， E2?33 ，
向量式为 E2?(r?r1)?f3?r23r
33当r?r2时， 4?rD3??D3?(r2?r1)?f3r23343?(r2?r1)?f
(r2?r1)?f3?0r233 E3?33
向量式为 E3?(r2?r1)?f3?0r3r
（2）当r1?r?r2时，
?p????P????(D2??0E2)????(D2???(1??0?D2)
?0?当r?r1时，
)??D2??(1??0?)?f
?p??n?(P2?P1)??n?(D2??0?D2)??(1??0?)D2r?r1?0
当r?r2时， ?p?n?P2?(1??0?)D2r?r2?(1??0r2?r1?)3r2233?f
8. 内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf，导体的磁导率为
?，求磁感应强度和磁化电流。
解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称
性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 r?r1 时，由安培环路定理得：H1?0,B1?0
当 r1?r?r2 时，由环路定理得：2?rH所以 H2?Jf(r?r1)2r22?Jf?(r?r1)
222222 ， B2?2?(r?r1)2r22Jf ?r
向量式为 B2??(r?r1)2r322???Jfe2?(r?r1)2r22Jf当 r?r2 时，2?rH所以 H3?2r?Jf?(r2?r1)
Jf(r2?r1)2 ， B3?2?0(r2?r1)2r22Jf J?r
???Jfe2r（2）当 r1?r?r2 时，磁化强度为
向量式为 B3??0(r2?r1)?0(r2?r1)2r2222fM?(??0?1)H2?(??0?1)(r?r1)2r22Jf?r
所以 JM???M???[(??0?1)H2]?(??0?1)??H2?(??0?1)Jf
在 r?r1 处，磁化面电流密度为 ?M?12?r1?M1?dl?0
在 r?r2 处，磁化面电流密度为 ?M?0?2?r2?M??dl??(2??02r22?1)2(r2?r1)2r2222Jf
向量式为 αM??(?0?1)(r2?r1)Jf
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度?p总是等于体自由电荷密度?f的?(1??0/?)倍。 证明：在均匀介质中 P?(?/?0?1)?0E?(???0)E
所以 ?p????P??(???0)??E??(???0)(1/?)??D
??[(???0)/?]?f??(1??0/?)?f
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为?1和?2，今在两板接上电动势为E
的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度?（2）介质分界面上的自由电荷面密度?定时，上述两物体的结果如何？)
f3f1和?f2；
。(若介质是漏电的，电导率分别为?1和?2 当电流达到恒
解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为E1和
E2，电位移分别设为D1和D2，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自
由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为
?f3?0
取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：
D1??f1 同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
D2???f2 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
D1?D2 所以有 E1?由于????E ?所以 ??f1?1 ， E2??f1??l1f1?2f1
(f1l1?l2)
?E?dl??1l1??2l2???1?2f1???f2? E (?1?l2?2)
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
D1??f1， D2???f2， D2?D1???f3
?f3???f1??f2
f1介质1中电流密度 J1??1E1??1D1/?1??1?由于电流恒定，J1?J2，
?/?1
f1介质2中电流密度 J2??2E2??2D2/?2??2(??1?/?1??2(???)/?2
??f3)/?2
f1f1f3??f3??2?1?2?1(??2?2)?f1?(?2?1?2?1?1)?f1
再由 E ?E ???E?dll1??E1l1?E2l2?得?
f1??f1?2?1??1?2?2?1??f1?1(l1??1?2l2)
?f1??1l1??1l2/?2??)??f3E ??2?1?2l1??1l2E?E??f2??(??1?2?2l1??1l2f1?f3??1?2??2?1?2l1??1l2E
12.证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
tan?2??2
tan?1?1其中?1和?2分别为两种介质的介电常数，?1和?2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足
tan?2??2
tan?1?1
其中?1和?2分别为两种介质的电导率。 证明：（1）由E的切向分量连续，得
E1sin?1?E2sin?2 （1）
交界面处无自由电荷，所以D的法向分量连续，即
D1cos?1?D2cos?2
?1E1cos?1??2E2cos?2 （2）
（1）、（2）式相除，得
tan?2??2
tan?1?1（2）当两种电介质内流有恒定电流时
J1??1E1,J2??2E2
由J的法向分量连续，得
?1E1cos?1??2E2cos?2 （3）
（1）、（3）式相除，即得
tan?2??2
tan?1?113.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表
面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。 证明：（1）设导体外表面处电场强度为E，其方向与法线之间夹角为?，则其切向分量为Esin?。在
静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E的切向分量连续，所以
Esin??0
因此 ??0
即E只有法向分量，电场线与导体表面垂直。
（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为?，则电流密度J??E与导体表面夹角也是?。导体外的电流密度J??0，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以
?Esin??0
因此 ??0
即J只有切向分量，从而E只有切向分量，电场线与导体表面平行。
19. 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质(如图所示)。导线载有电流
?(1) 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S；
I，两导线间的电压为U。
(2) 若内导线的电导率为σ，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。
解：(1)以距对称轴为r的半径作一圆周(a I因而 H??2?r 导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷(电荷线密度)为τ，应用高斯定理由对称性，可得 ，因而 能流密度为 2?rEr?Er????2?r??z?S?E?H?ErH?eI?4??r22?ze式中ez为沿导线轴向单位矢量。两导线间的电压为: b?aU?Edr?ln ?ar2??b UI?zS?e 2rln(a/b) 把S对两导线间圆环状截面积积分得： bb1UIP??2?rSdr? ?dr?UIaln(a/b)ar UI即为通常在电路问题中的传输功率表达式。可见这功率是在场中传输的。 (2)设导线的电导率为σ，由欧姆定律,在导线内有 E?J?I2 由于电场切向分量是连续的,因此在紧贴内导线表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还有切向分量Ez。因此,能流S除有沿z轴传输的分量Sz外, 还有沿径向的分量?Sr 第二章 七、（11分）导体内有一半径为R的球形空腔，腔内充满电容率为ε的均匀电介质，现将电荷量为q 的点电荷放在腔内离球心为(a?R)处，已知导体电势为0，试求：腔内任一点的电势。 解：假设球内有点电荷q?可代替球面上感应电荷， 由对称性q?应放在oq的连线上。选择q?的位置大小，使球面上的?=0，满足唯一性定理，解唯一合法。 考虑两个特殊点A，B （2分） A到q a?R0 ?A?0?q4??0(a?R0)?q?4??0(b?R0)??a??zeEzr?a?I?a?2?Sr?EzH?r?a?I2232?a?流进长度为Δl的导线内部的功率为 ?Sr?2?a?l?I?l2?a?2?IR2 （2分） A到q? b?R0