1A?A?0，A??By?f(x) 即：A?[?By?f(x)]e； ○
2A?A?0，A?Bx?g(y) 即：A?[Bx?g(y)]e ○解○1与解○2之差为?A?[?By?f(x)]e?[Bx?g(y)]e
yzx00xxzy00y0x0y则 ??(?A)?(??Ay/?z)ex?(?Ax/?z)ey?(?Ay/?x??Ax/?y)ez?0
这说明两者之差是无旋场
3. 设有无限长的线电流I沿z轴流动，在z<0空间充满磁导率为?的均匀介质，z>0区域为真空，试用
唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。 解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为B1，H1；z<0区域为B2，H2，由对称性可知H1 和H2均沿e?方向。由于H的切向分量连续，所以H1?H2?He?。由此得到B1n?B2n?0，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。
以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H大小相等。根据安培环路定理
得：2?rH?I，即H?I/2?r，H1?H2??I/2?r?e? ?B1??1H1???0I/2?r?e?，(z>0)；
B2??2H2???I/2?r?e?，(z<0)。
在介质中 M?B2/?0?H2??I/2?r???/?0?1?e?
所以，介质界面上的磁化电流密度为：
α?M?n??I/2?r???/?0?1?e??ez??I/2?r???/?0?1?er
2?总的感应电流：I??M?dl???I/2?r???/?00?1?e??rd?e??I??/?0?1?，
电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。
4. 设x<0半空间充满磁导率为?的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作
B?(?'I/2?r)e?
它满足边界条件：n?(B2?B1)?0及n?(H2?H1)?α?0。由此可得介质中：
H2?B/??(?'I/2??r)e?
由 H2?B/?0?M得： 在x<0 的介质中 M?则： IM??'I???02?r2?r??0e? ， r?d??0?0?M?dl??'I???0??0?2??d??I?'(???0)2??0
再由 B?e??0(I?IM)/2?r?(?'I/2?r)e? 可得?'?2??0/(???0)，所以
B?e???0I/(???0)?r，IM?(???0)I/(???0) （沿 z 轴）
7. 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势A的微分方程。设导体的磁
导率为?0，导体外的磁导率为?。 解：矢势所满足的方程为：
2???A内???0J?2,???A外?0,(r?a)
(r?a)自然边界条件：r?0时，A内有限。 边值关系：A内r?a?A外r?a；
1?0??A内|r?a?1???A外|r?a
选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令
A内?A内(r)ez，A外?A外(r)ez，
代入微分方程得：
?A内(r)?A外(r)1?1?(r)???0J；(r)?0 r?r?rr?r?r解得：A内(r)??14?0Jr2?C1lnr?C2；A外(r)?C3lnr?C4
由自然边界条件得C1?0， 由
1?0??A内|r?a?1???A外|r?a 得：C3??14?2Ja，
22由 A内r?a?A外14r?a 并令其为零，得：C2?22?0Ja，C4?ar?2Jalna。
2?A内??0J(a?r)；A外?12?Jaln2
8.证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。
解:以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边界条件
n??B2?B1? ?0,
n??H2?H1??0 B1??1H1 以及
B2??0H2
可得式中n和t分别表示法向和切向分量。两式相除得
H2t ?0H1t ??0 H2n? H1n
因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面。
例2 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。
解：铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化，则有
M?M0 ?m???0??M0?0
因此磁荷职分布在铁球表面上。球外磁势φ1和球内磁势φ 2 都满足拉普拉斯方程，即
22 ??1?0, ??2?0.
当R→∞时，φ 1→∞ ，所以φ 1只含R负幂次项。
b ?1??nn?1Pn(cos?)nR
当R=0时，?2为有限值，所以?2只含R正次幂项。
n ?2??anRPn(cos?).n
铁球表面边界条件为当R=R0 (R0为铁球半径)时，
?1??2
??1??2 ??n??M1?M2???M0cos??n?n
(n?1)bnn?1 ?Rn?2Pn(cos?)???nanR0Pn(cos?)?M0P1cos?)nn0
bnn P(cos?)??nanR0Pn(cos?).?n?1n nR0n
11比较Pn的系数，得 3a1?M0, b1?M0R0. 33 an? bn ?0, n?1. 33M0R0cos?R0M0?R于是得 ?1??,233R3R
第四章 1.导出导体中的波动方程
导体内部? = 0，J=? E，麦氏方程组为：（1分） ????B???E?? ?t???? ??D??E???H? ?t???0 ???D?? ? ? ? B ? 0 （2分）
对一定频率?的电磁波，D＝?E，B＝?H，则有
?? ???E?i??H??????H??i??E??E ?????E?0?? ????H?0 （2分）
式中场量是抽去时间因子以后的函数，只与坐标有关。
将导体内部的麦克斯韦方程组与绝缘介质中的麦克斯韦方程组比较可知， 其差别仅在于第二个方程中多了一项? E。导体中：
??? ? ? H ? ? i E ? ? E （2分） ????如果将导体中的方程写成： ??H??i???E这只需令 ? ，ε’称为复电容率 （1分）
?????i ?将ε用ε’代替后，导体内的麦克斯韦方程组与绝缘介质中的麦克斯韦方程 组形式相同，得到的亥姆霍兹方程也相同。即导体内部满足：
?? ?2E?k?2E?0 k??????0 （2分） ? ? E ?
2.导出真空中自由空间的波动方程。
在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中麦克斯韦方程组 (1)
?B???E?? ? ? t
? ? ? ? H ? ? D (2)
? ? ? t (3) ? ? ? D ? 0
??B?0 ? ? (4)
真空中的波动方程:
D=?0E，B=?0H，取(1)式的旋度，得 2??E ?????E?????B??μ0ε02?t?t
2 ??????E???(??E)??E
2 ?E2??E??0?0?02 ?t 2?Β2同理可得 ?Β??0?0?02?t
令 c?1/??00
则E和B的方程可以写为 21?E2 ?E?2?02c?t
2 21?B?B?2?02 c?t
3.证明：两平行无限大导体平面之间可以传播一种偏振的TEM电磁波。
证明：设两导体板与y轴垂直。边界条件为：在两导体平面上，Ex=Ez=0 , Hy=0
若沿z轴传播的平面电磁波的电场沿y轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波(E与导体面相切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。
??E?0
4.在线性均匀介质的自由空间中，试利用微分形式的麦克斯韦方程组证明：
（1）对于时谐（定态）电磁波，其波动方程为亥姆霍兹方程：
??22?E?kE?0，式中：k????（2）此时，磁场可由B??
第六章
2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得?'2系相对于?'1的速度大小是
v'?2v/(1?v/c) （1）
22。
?ik????E求出。
?∴在?'1系中测量?'2系中静长为0 l的尺子的长度为
l?l01?v'/c （2）
将（1）代入（2）即得：
l?l0(1?v/c)/(1?v/c) （3）
222222此即是在?'1系中观测到的相对于?'2静止的尺子的长度。
3. 静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。
22解：根据题意取地面为参考系S，车厢为参考系S’，于是相对于地面参考系S，车长为l?l01?v/c，
（1）
车速为v，球速为
u?(u0?v)/(1?u0v/c) （2）
2所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁
u?t?v?t?l
所以
?t?l/(u?v) （3）
将（1）（2）代入（3）得：?t?l0(1?u0v/c)u01?v/c222 （4）
4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l0。 解：取地面为静止的参考系?，列车为运动的参
考系?'。
取 x 轴与 x′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为?系与?'的原点，如图。
在?系中光经过t?l0/c的时间后同时照亮左右两塔,但在?'系中观察两塔的位置坐标为
x'右?x'左?l0?vt1?v/c?l0?vt1?v/cl0222??l01?v/c?l01?v/c222(1?v/c)
(1?v/c)
22即：
d'右?(1?v/c),d'左??l0(1?v/c)
1?v2/c21?v2/c2时间差为
?t?d'左d'右c?c?2vl0
c21?v2/c2