1-1 研究误差的意义是什么？误差理论研究的主要内容是什么？
答：研究误差的意义是：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，从而从根本上，消除或减小误差； 2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，从而得到更接近真值的数据；
3）正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法，从而根据目标确定最佳系统。 误差理论的主要内容包括：从理论上对误差进行系统研究，正确地评价并正确地给出“测量结果及其可信程度”。
1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？
答：所谓测量误差，是指测得值与被测量的真值之差，即：
误差=测得值-真值
测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
系统误差是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，其特点是：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化；
随机误差是指测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差，又称为偶然误差。其特点是：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化。
粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 1-3 误差的绝对值与绝对误差有何异同？并举例说明？
答：误差的绝对值和绝对误差都能表达误差的大小，但误差的绝对值不能反映误差的方向，而绝对误差带有符号，能反映误差的方向。例如：测量某一长度为 20mm的工件，其绝对误差为-20μm，表示实际测得值为19.08mm，而其误差的绝对值为20μm，不能反映实际测得值是多少。
1-4 什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到被测量
的真值？为什么？
答：所谓测量误差，是指测得值与被测量的真值之差，即：
误差=测得值-真值
所谓修正值，是指为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值，其表达式为：
修正值≈真值-测得值
含有误差的某一测得值经过修正后，不能得到被测量的真值，因为修正值本身还有误差。
1-5 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa，
问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：误差：e?100.2?100.5??0.3Pa 1-6 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20μm，试求其最大相对误差。
解：
最大绝对误差20?10?6??8.66?10?6 最大相对误差：r?测得值2.311-7 测量某一矩形的两边长，其相对误差分别为 3%和 4%，试求矩形面积的相对误差为多
少？
解：设矩形的两边长分别为a和b，则矩形面积
A?a(1?3%)?b(1?4%)?1.0712ab
则矩形面积的相对误差为：
rA?A?ab?7.12% ab1-8 由单摆公式g?4?2l/T计算g值，若l?l，T?T，其中fl，fT分（（01?fT）01?fl）别为l和T的相对误差，试求g值的相对误差。
?g?g4?28?2h?h??T?2?h?3?T 解：?g??h?TTT1-9 使用 Kater（凯特）摆时， g由公式g?4?2(h1?h2)/T2给定。今测出长度(h1?h2)
为1.04230±0.00005m，振动时间T为2.0480±0.0005s。试求g及其最大相对误差。如果0. 00005m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须(h1?h2)测出为1.04220±精确到多少？ 解：令 h?h1?h2
24?2h4?3.14159?1.04230g???9.8105 m/s2 22T2.0480?g?g4?28?2h?g??h??T?2?h?3?T
?h?TTT?g?h?T??2 ghT??gmax0.00005?0.0005??2?5.3625?10?4(或0.05362%) g1.042302.0480?Tmax1??h?g?1?0.0005?0.001?? ????????0.000291??T2?hg?2?1.042209.8105?2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5 次，测得数据（单位mm）为20.0015, 20.0016,
20.0018, 20.0015, 20.0011。试以99%的置信概率确定测量结果。
解：
序号 1 2 3 4 5
5xi
20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011
vi
0 0.0001 0.0003 0 -0.0004
vi2
0 10-8 9*10-8 0 16*10-8
?xi?100.0075mm
i?1?vi?0mm
i?15?vi?152i?2.6*10?7
x?20.0015mm
1）求算术平均值
15x??xi?20.0015mm
5i?12）算术平均值的校核
?xi?nx?100.0075?5?20.0015?0mm??vi
i?1i?155故以上计算正确。
3）求算术平均值的标准差
2.6?10?7?x???0.00011mm
n(n?1)5?4i?1?vn2i查正态分布表得，当置信概率为99%时，置信系数t??2.6，则极限误差为
?limx??t??x??2.6?0.00011??0.0003mm
则测量结果为：x?x??limx?(20.0015?0.0003)mm
2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ = 0.004 mm ，若要求测量结果的置信限不大于± 0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数？
解：1）当服从正态分布时，查正态分布表得，P=99%时，t=2.6
由 ?limx??t?x??t2?n??2.6?0.004??0.005mm n0.004??n??2.6???4.33
0.005??取n=5，当服从正态分布时，至少要测量5次。
2）当服从t分布时 由?limx??t??x??t??n??t??0.004??0.005mm，得 nt??1.25 n及显著度α=1-0.99=0.01，查t分布表可得，当n=8时，自由度??n?1?7，t??3.50， 此时
t?3.50??1.24?1.25 n8则当服从t分布时，至少要测量8次。
2-19 等精度测量某一电压10 次，测得结果（单位V）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判断是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10 次等精度测量，测得结果（单位V）为25.93，25.94，26.02，25.98，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。试用t 检验法（α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差？
解：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
25.94 25.97 25.98 26.01 26.04 26.02 26.04 25.98 25.96 26.07
vi
-0.061 -0.031 -0.021 0.009 0.039 0.019 0.039 -0.021 -0.041 0.069
vi2
0.003721 0.000961 0.000441 0.000008 0.001521 0.000361 0.001521 0.000441 0.001681 0.004761
x?26.001V
?vi?110i?0
?vi?1102i?0.01549
110其算术平均值为： x?xi?26.001V ?10i?11??nx2x22 v?0.00155V?ii?1n序号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi
25.93 25.94 26.02 25.98 26.01 25.90 25.93 26.04 25.94 26.02
vi
-0.041 -0.031 0.049 0.009 0.039 -0.071 -0.041 0.069 -0.031 0.049
vi2
0.001681 0.000961 0.002401 0.000008 0.001521 0.005041 0.001681 0.004761 0.000961 0.002401
2v?i?0.02149 i?110y?25.971V
?vi?0
i?110110其算术平均值为： y??yi?25.971V
10i?11??nx2y?vi?1n2i?0.00215V2
t?(x?y)nxny(nx?ny?2)22(nx?ny)(nx?x?ny?y)?1.53
又因为??10?10-2?18，当??0.05时，由t分布表可查得，t??2.10 因为 |t|?t? 所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。
2-21 某量进行两组测量，测得数据如下：
xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差？
解：根据秩和检验法，将两组数据混合排列如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 xi 0.62 0.86
0.99 1.12 1.21 1.25 yi
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1.34 1.39 1.41 1.57 xi
1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 yi 1.31 1.31 1.38
显然，测量列xi的秩和小，用其进行判断。
T?1?2?5?6?7?8?9?10.5?12?14?15?18?20?21.5?25?174
?n1(n1?n2?1)n1n2(n1?n2?1)??的正态分,由于n1?n2?10，秩和T近似服从N???212??布，其中
a?n1(n1?n2?1)?232.5
2??则 t?n1n2(n1?n2?1)?24.1
12T?a??174?232.5??2.43
24.1由正态分布表，取P?0.95时，置信系数t??1.95 此时有|t|?t?，怀疑两测量列间存在系统误差。 若取P?0.99由正态分布表，置信系数t??2.60， 此时有|t|?t?，无根据怀疑两测量列间存在系统误差。