2-22 对某量进行15 次测量测得数据为28.53, 28.52, 28.50, 28.52, 28.53,28.53, 28.50, 28.49, 28.49, 28.51, 28.53, 28.52, 28.49, 28.40, 28.50, 若这些测得值已经消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值？
解：（1）莱以特准则 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
xi
28.53 28.52 28.50 29.52 28.53 28.53 28.50 28.49 28.49 28.51 28.53 28.52 28.49 28.40 28.50
vi
-0.041 -0.051 -0.071 0.949 -0.041 -0.041 -0.071 -0.081 -0.081 -0.061 -0.041 -0.051 -0.081 -0.171 -0.071
15vi2
0.001681 0.002601 0.005041 0.900601 0.001681 0.001681 0.005041 0.006561 0.006561 0.003721 0.001681 0.002601 0.006561 0.029241 0.005041
2ivi'
0.027 0.017 -0.003
v'i2
0.000729 0.000289 0.000009 -
0.000729 0.000729 0.000009 0.000169 0.000169 0.000049 0.000729 0.000289 0.000169 0.010609 0.000009
v'2?0.014686ivi\
0.019
0.009 -0.011 - 0.019 0.019 -0.011 -0.021 -0.021 -0.001 0.019 0.009 -0.021 - -0.011
15i?1v\i2
0.000361 0.000081 0.000121 - 0.000361 0.000361 0.000121 0.000441 0.000441 0.000001 0.000361 0.000081 0.000441 - 0.000121
2i-
0.027 0.027 -0.003 -0.013 -0.013 0.007 0.027 0.017 -0.013 -0.103 -0.003
15i?1x?28.571
?v?0.9803x'?28.503?i?1v\x\?28.511??0.003293
115x??xi?28.571V
15i?12v?ii?1n??n?1?0.9803?0.265V，3?=0.795V
15?1根据莱以特准则，第4个测得值的残余误差
|v4|?0.949?3?
则含有粗大误差，需剔除。剔除第4个测得值后，剩余14个测得值的平均值为：
115x'??xi?28.503V
14i?1i?4?'??v'i?1n2in'?1?0.014686?0.034V，3?'=0.102V
14?1根据莱以特准则，第14个测得值的残余误差
|v'14|?0.103?3?'
则含有粗大误差，需剔除。剔除第14个测得值后，剩余13个测得值的平均值为：
115x\??xi?28.511V
13i?1i?4,14n?\??v\i?12in\?1?0.003293?0.017V，3?\=0.051V
13?1表中所列13个测得结果的残余误差均满足
|v\i|?3?\
认为均不再含有粗大误差。 （2）格罗布斯准则
对所有15个测得值按从小到大排列得
x(1)=28.40，x(15)=29.52
由于x?x(1)?28.571?28.40?0.171，x(15)?x?29.52?28.571?0.949 则认为x(15)更可疑。计算
g(15)?x(15)?x??0.949?3.58 0.265查表得g0(15,0.05)?2.41 则g(15)?g0(15,0.05)
故第4个数据含有粗大误差，应予以剔除。
对剩下的14个数据从小到大排列，重复上述步骤，认为x(1)=28.40更可疑。 计算
g(1)?x'-x(1)?'?28.503?28.40?3.03
0.034查表得g0(14,0.05)?2.37 则g(1)?g0(14,0.05)
故第14个数据含有粗大误差，应予以剔除。 经计算，剩余的13个测得值均不含粗大误差。 （3）狄克松准则
对所有15个测得值按从小到大排列得
28.40<28.49<28.49<28.49<28.50<28.50<28.50<28.51<28.52<28.52<28.53<28.53<28.53<28.53<
29.52
因n=15，故
r22?x(15)?x(13)x(15)?x(3)x(1)?x(3)28.40?28.4929.52?28.53??0.961，r'22???0.692 29.52?28.49x(1)?x(13)28.40?28.53查表得r0(15,0.05)?0.525
则r22?r0(15,0.05)，故第4个测得值含有粗大误差，应予以剔除；
r'22?r0(15,0.05)，故第14个测得值含有粗大误差，应予以剔除。
经计算，剩余的13个测得值均不含粗大误差 。
3-2 为求长方体体积 V ，直接测量其各边长为a＝161.6mm，b＝44.5mm，c＝11.2mm，已知测量的系统误差分别为Δa＝1.2mm，Δb＝-0.8mm，Δc＝0.5mm，测量的极限误差分别为δa＝±0.8mm，δb＝±0.5mm，δc＝±0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
解：由直接测量结果得
V0?abc?161.6?44.5?11.2?80541.4mm3
各误差传递系数分别为：
?V?bc?44.4?11.2?498.4mm2 ?a?V?ac?161.6?11.2?1809.9mm2 ?b?V?ab?161.6?44.4?7191.2mm2 ?c则长方体体积的系统误差为：
?V??V?V?V?a??b??c ?a?b?c?498.4?1.2?1809.9?(?0.8)?7191.2?0.5
3?2745.7mm
所以，长方体的体积为
3 V?V0??V?80541.4?2745.7?77795.7mm极限误差为：
??V???V???V??V????a????b????c???a???b???c?222
??498.42?0.82?1809.92?0.52?7191.22?0.52
3??3729.1mm
3-7 通过电流表的电流I 与指针偏转角?服从下列关系：
I?Ctan?
式中C为决定于仪表结构的常数，C＝5.031×10-7A，两次测得?1?617??1?、
??2?43?32??1?。试求两种情况下的I1、I2及其极限误差，并分析最佳测量方案。
???解： ?1?617??1??6.283?0.017
?2?43?32??1??43.533??0.017?
I1?Ctan?1?5.031?10?7?tan6.283??5.539?10?8A I2?Ctan?2?5.031?10?7?tan43.533??4.780?10?7A
∵
?I?Csec2? ???limI??1?I??1??Csec2?1??1 ???72??limI20.017????10??5.031?10?sec6.283???1.481?10A ?180?I????2??Csec2?2??2
??0.017?????5.031?10?sec43.533???2.838?10?10A ?180?72?比较?limI1和?limI2可知，在相同的角度测量误差下，第一种方案的极限误差小。事实上，由?limI???IC????Csec2?????2???可知，cos2?越大，即越接近于1，电流??cos?测量的极限误差越小。
3-12 按公式V??rh求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为 20cm，要使体积的相对误差等于 1％，试问r和h测量时误差应为多少？
解： V0??r2h?3.14?22?20?251.2cm3 允许的体积的绝对误差为：
2?V?V0?1%?2.51cm23
?V?2?rh?2?3.14?2?20?251.2cm2 ?r?V??r2?3.14?22?12.56cm2 ?h按等作用原则分配误差，可得
?r??V1n?V?r?12.5121?h?V???0.141cm
?Vn212.56?h?2.5121??0.007cm 251.22根据以上结果可见，按等作用原则分配误差，对半径的测量精度要求远远高于圆柱体的
高度，不合理，需要进一步调整测量误差的分配。
3-14 对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位：g）为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差Δ＝-2.6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。 序号 1 2 3 极限误差/g 随机误差 2.1 — — 未定系统误差 — 1.5 1.0 误差传递系数 1 1 1 4 5 6 7 8 — 4.5 — 1.0 — 0.5 — 2.2 — 1.8 1 1 1.4 2.2 1 解：4次重复测量是算术平均值为： 14M??Mi?428.8g
4i?1根据一定系统误差修正得该质量的最可信赖值为：
M0?M???428.8?(?2.6)?431.4g
由于各误差均服从正态分布，则测量结果的极限误差为：
?M??s1q2??(ai?i)??(ajei)2 ?ni?1j?11[(1?2.1)2?(1?4.5)2?(2.2?1.0)2]?[(1?1.5)2?(1?1.0)2?(1?0.5)2?(1.4?2.2)2?(1?1.8)2]4??4.858g??4.9g
则质量的测量结果为
M?M0??M?(431.4?4.9)g
4-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：l1＝40mm，l2＝10mm，l3＝2.5mm，量块按查手册得其研合误差分别不超过±0.45μm、±0.30μm、±0.25μm（取置信概率 P＝99.73％的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。 解：
∵ 圆柱体的直径为 D?l1?l2?l3 ∴
?D?D?D???1 ?l1?l2?l3查正态分布表可知，当置信概率 P＝99.73％时，包含因子kp?3 则三块量块引起的不确定度分量分别为：
ul1?a10.45?m?D??0.15?m；u1?ul1?0.15?m
?l1kp3a20.30?m?D??0.10?m；u2?ul2?0.10?m
?l2kp3a30.25?m?D??0.08?m；u3?ul3?0.08?m
?l3kp3ul2?ul3?