高考真题精选
2006高考题
一、选择题
1.(2006全国高考卷Ⅰ,理8文11)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（ ）
847A.3 B.5 C.5 D.3
答案:A
解析:设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,
2x0∴y0=-.
|4x0?3y0?8|5∴d= 220|?3(x0?)2?|335=. 2034∴dmin=5=3.
x2y2222.(2006福建高考,理10)已知双曲线a-b=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2］ B.(1,2) C.［2,+∞) D.(2,+∞) 答案:C
解析:∵过F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个公共点,
b2b2∴a≥3,即a≥3. c2?a22∴a≥3,即e2-1≥3.
∴e≥2或e≤-2(舍).
y223.(2006湖南高考,理7文9)过双曲线M：x2-b=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条
渐近线分别相交于点B、C，且｜AB｜=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
510A.10 B.5 C.3 D.2
答案:A
解析:据题意,如图.
设lAB：y=x+1, lOC:y=bx, lOB：y=-bx.
?y?x?1,b?由?y?bx解得C点纵坐标为b?1,
1
bB点纵坐标为1?b.
bb2∵|AB|=|BC|,∴b?1=b?1.∴b=3.
c∴e=a=10.
4.(2006四川高考,理9文10)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为( )
A.48 B.56 C.64 D.72 答案:A
?y?x-3,?2解析:如图所示,?y?4x,
?x?1,?x?9,??2y?-2(x-3)=4x,解得?或?y?6.
∴A(9,6),B(1,-2).
∴|AP|=9-(-1)=10,|BQ|=1-(-1)=2, |PQ|=6-(-2)=8.
1∴SABQP=2×(10+2)×8=48.
5.(2006陕西高考,11)已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（ ） A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 答案:D
解析:A、B、C点若在平面α两侧,则面ABC与α相交,则A错〔如图(1)〕.
A、B、C点在平面α同侧且面ABC与α平行,则B错 〔如图(2)〕.
面ABC可以垂直于面α,则C错.〔如图(3)〕.
A、B、C点在平面α同侧且面ABC平行于α,则△ABC的一条中位线平行于α;若A、B、C在面α内,则△ABC的中位线在α内〔如图(4)〕.
6.(2006陕西高考,12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明方→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ） A.4，6，1，7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1，6，4，7
2
答案:C
?a?6,?a?2b?14?b?4,?2b?c?9????2c?3d?23?c?1,???d?7. ??解析:?4d?28二、填空题
7.(2006福建高考,14)已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a=___________________.
1答案:4
解析:∵x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,
?x-y-1?0?2y?ax??ax2-x+1=0. ∴
1∵Δ=1-4a=0,∴a=4.
8.(2006山东高考,理14文15)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则y1?y2的最小值是_________________. 答案:32
解析:假设过点P(4,0)的直线斜率存在,设为k.
则直线方程为y=k(x-4),代入y2=4x中得k2(x2-8x+16)=4x. 化简整理得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0.
228k2?42∴x1+x2=k.
8k2?4222又y1?y2=4(x1+x2)=4·k
42=4(8+k),
22∴y1?y2的最小值为32(k→∞).
三、解答题
9.(2006全国高考卷Ⅱ,理21文22)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF=λFB(λ＞0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
AB为定值; (1)证明FM·
(2)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值. 答案：(1)证明:由已知条件,得F(0,1),λ＞0. 设A(x1,y1)、B(x2,y2).
由AF=λFB,
?-x1??x2,?即得(-x,1-y)=λ(x,y-1),∴?1-y1??(y2-1).1
1
2
2
(1)(2)
1122将①式两边平方并把y1=4x1,y2=4x2代入得y1=λ2y2, ③
12解②、③式得y1=λ,y2=?,且有x1x2=-λx2=-4λy2=-4.
1抛物线方程为y=4x2.
3
1求导得y′=2x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
11y=2x1(x-x1)+y1,y=2x2(x-x2)+y2,
111122xx242412即y=x1x-,y=x2x-.
解出两条切线的交点M的坐标为
x1?x2x1x2x1?x22,4)=(2,-1). (
x1?x2AB=(2,-2)·所以FM·(x2-x1,y2-y1)
1112222=2(x2-x1)-2(4x2-4x1)
=0.
AB为定值,其值为0. 所以FM·
(2)解:由(1)知在△ABM中,FM⊥AB,
1因而S=2|AB||FM|.
|FM|=
(x1?x22)?(?2)22
12121x1?x2?x1x2?4?442=
1=?+?.
11y1?y2??(?4)?4????22?
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,
所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2
11=λ+?+2=(?+?)2.
111于是S=2|AB||FM|=2(?+?)3,
1由?+?≥2,知S≥4,
且当λ=1时,S取得最小值4.
10.(2006北京高考,理19)已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程;
OB的最小值. (2)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·
答案：(理)解法一:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.
22又半焦距c=2,故虚半轴长b=c?a?2.
x2y2所以W的方程为2-2=1,x≥2.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2.
OB=x1x2+y1y2=x1-y12=2. 从而OA·
4
2当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
m2?22km22故x1+x2=1?k,x1x2=k?1. OB=x1x2+y1y2 所以OA·
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
(1?k2)(m2?2)2k2m22k2?1=+1?k+m2 2k2?2422=k?1=2+k?1.
OB＞2. 又因为x1x2＞0,所以k2-1＞0,从而OA·OB取得最小值2. 综上,当AB⊥x轴时,OA·
解法二:(1)同解法一.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则xi-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2). 令si=xi+yi,ti=xi-yi,
2OB=x1x2+y1y2 则siti=2,且si＞0,ti＞0(i=1,2),所以OA·
11=4(s1+t1)(s2+t2)+4(s1-t1)(s2-t2) 11=2s1s2+2t1t2
≥s1s2t1t2 =2.
?x1?x2,?当且仅当s1s2=t1t2,即?y1?-y2时“=”成立. OB的最小值是2. 所以OA·
x2y22211.(2006北京高考,文19)椭圆C:a+b=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥
414F1F2,|PF1|=3,|PF2|=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程. 解法一:(1)因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
22|PF|?|PF|?25,故椭圆的半焦距c=5, 21在Rt△PF1F2中,|F1F2|=
从而b2=a2-c2=4,
x2y2所以椭圆C的方程为9+4=1.
(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1), 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A、B关于点M对称,
2x1?x218k?9k2=-4?9k2=-2, 所以
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