8解得k=9.
8所以直线l的方程为y=9(x+2)+1,
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1). 设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
x12y12由题意x1≠x2且9+4=1, ①
22y2x29+4=1. ②
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)49由①-②得+=0. ③
因为A、B关于点M对称,所以x1+x2=-4,y1+y2=2.
y1?y288代入③得x1?x2=9,即直线l的斜率为9,
8所以直线l的方程为y-1=9(x+2),即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)
x2y22212.(2006天津高考,理22)如图，以椭圆a+b=1(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆
和小圆.过椭圆右焦点F(c,0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.
(1)证明c=ab,并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
2
1OQ=2b2. (2)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP·
解析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的
基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.
OFOBcb?证明：(1)由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故OAOF，即a=c.
因此c2=ab. ①
22在Rt△OFA中，FA=OA?OF?a2?c2=b.
b于是，直线OA的斜率kOA=c. 1c设直线BF的斜率为k，则k=-kOA=-b.
c这时，直线BF的方程为y=-b(x-c).
6
c2ab令x=0，则y=b=b=a.
所以直线BF与y轴的交点为M(0,a).
c2aba22(2)由(1)，得直线BF的方程为y=kx+a,且k2=b=b=b. ②
?x2y2?2?2?1,b?a?由已知，设P(x,y),Q(x,y),则它们的坐标满足方程组?y?kx?a. ③
由方程组③消去y，并整理得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=0. ④
1
1
2
2
a4?a2b2a2(a2?b2)a3??aa3?b3b2?a2k222b?a?b由式①②和④，x1x2=.
由方程组③消去x，并整理得(b2+a2k2)y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0. ⑤
a22ab(1?)a2b2(1?k2)a2b2(b?a)b??222ab?aka3?b322b?a?b由式②和⑤，y1y2=.
a2b2(b?a)a2b3a3b2?3OQ=xx+yy=a3?b3+a3?b3a?b3. 综上，得到OP·1212
注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得
a2b3a2b3a2bac2a(a2?b2)????332OQ2(a?b)2(a?b)2(a?b) a?b(a?b)?2bOP·=11=2(a2-ab)=2(a2-c2) 1=2b2.
13.(2006辽宁高考,理20文22)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p＞0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA、OB满足|OA?OB|=|OA?OB|.设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. (1)证明线段AB是圆C的直径;
25(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为5时,求p的值.
解析:本小题主要考查平面向量的基本运算、圆与抛物线的方程、点到直线的距离等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力. (1)证法一:∵|OA?OB|=|OA?OB|, ∴(OA?OB)2=(OA?OB)2,即
222OB?OB?OA?2OA·OB?OB, OA?2OA·
OB=0. 整理得OA·
∴x1x2+y1y2=0. ①
设点M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,
2MB=0. 则MA·
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 展开上式并将①代入得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. 故线段AB是圆C的直径.
7
证法二:∵|OA?OB|=|OA?OB|, ∴(OA?OB)2=(OA?OB)2,
222OB?OB?OA?2OA·OB?OB, 即OA?2OA·
OB=0. 整理得OA·
∴x1x2+y1y2=0. ①
若点(x,y)在以线段AB为直径的圆上,则
2y?y1y?y2x?x1·x?x2=-1(x≠x1,x≠x2).
去分母得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2)满足上方程,展开并将①代入得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. ∴线段AB是圆C的直径. 证法三:∵|OA?OB|=|OA?OB|, ∴(OA?OB)2=(OA?OB)2,即
222OB?OB?OA?2OA·OB?OB, OA?2OA·
OB=0. 整理得OA·
∴x1x2+y1y2=0. ①
以AB为直径的圆的方程是
21y1?y2x1?x22)2+(y-2)2=4［(x1-x2)2+(y1-y2)2］. (x-展开,并将①代入得
x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. ∴线段AB是圆C的直径.
(2)解法一:设圆C的圆心为C(x,y),
x1?x2?x?,??2??y?y1?y2.?2则? 22∵y1=2px1,y2=2px2(p＞0).
2y12y22∴x1x2=4p.
又∵x1x2+y1y2=0, ∴x1x2=-y1y2.
2y12y224p∴-y1y2=.
∵x1x2≠0,∴y1y2≠0.
∴y1y2=-4p2.
1y1y2x1?x2122222=4p(y1?y2)=4p(y1?y2+2y1y2)-2p ∴x=1=p(y2+2p2).
∴圆心的轨迹方程为y2=px-2p2.
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
8
|x?2y|d=
5
|=
12(y?2p2)?2y|p5
|(y?p)2?p2|=
5p.
p当y=p时,d有最小值5,
25由题设得5=5.
∴p=2.
解法二:设圆C的圆心为C(x,y),
px1?x2?x?,??2??y?y1?y2.?2则?. 22∵y1=2px1,y2=2px2(p＞0),
2y12y22∴x1x2=4p.
又∵x1x2+y1y2=0, ∴x1x2=-y1y2.
∵x1x2≠0,∴y1y2=-4p2.
x1?x21222=4p(y1?y2) ∵x=1y1y222=4p(y1?y2+2y1y2)-2p
1=p(y2+2p2).
∴圆心的轨迹方程为y2=px-2p2.
25设直线x-2y+m=0与x-2y=0的距离为5,
则m=±2.
∵x-2y+2=0与y2=px-2p2无公共点,
25∴当x-2y-2=0与y2=px-2p2仅有一个公共点时,该点到x-2y=0的距离最小,最小值为5.
?x-2y-2?0,?22y?px-2p.?∴
(2)(3)
将②代入③得y2-2py+2p2-2p=0, 有Δ=4p2-4(2p2-2p)=0. ∵p＞0,∴p=2.
解法三:设圆C的圆心为C(x,y),
9
x1?x2?x?,??2??y?y1?y2.?2则?
若圆心C到直线x-2y=0的距离为d,那么
x1?x2?(y1?y2)|25d=. |2y12y22224pyy∵1=2px1,2=2px2(p＞0),∴x1x2=.
又∵x1x2+y1y2=0,∴x1x2=-y1y2.
∵x1x2≠0,∴y1y2=-4p2.
|∴d=
12(y12?y2)?(y1?y2)|4p545p?2|y12?y2?2y1y2?4p(y1?y2)?8p2|45p
(y1?y2?2p)2?4p2=
.
25当y1+y2=2p时,d有最小值5,由题意得5=5,∴p=2.
ppx214.(2006福建高考,理20)已知椭圆2+y2=1的左焦点为F,O为坐标原点.
(1)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
解析:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力. 解:(1)∵a2=2,b2=1, ∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F,
1∴圆心M在直线x=-2上.
113设M(-2,t),则圆半径r=|(-2)-(-2)|=2.
13(?)2?t22由|OM|=r,得=2.
解之,得t=±2.
10