设l的方程y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
4则Q(-k,0).
44∵PQ=λ1QA,∴(-k,-4)=λ1(x1+k,y1).
4?4???(x?)?11k?k?? ∴??4??1y144?x???,?1k?k?1??y??4.1??1?
∵A(x1,y1)在双曲线C上,
16161??122∴k(?1)2-3?1-1=0.
16∴16+32λ1+16λ12-3k2-k2λ12=0.
16∴(16-k2)λ12+32λ1+16-3k2=0.
16同理有(16-k2)λ22+32λ2+16-3k2=0.
若16-k2=0,则直线l过顶点,不合题意. ∴16-k2≠0.
16∴λ1、λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-3k2=0的两根.
3282∴λ1+λ2=k?16=-3.
∴k2=4.
此时Δ＞0,∴k=±2. ∴所求Q的坐标为(±2,0).
方法二:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零. 设l的方程:y=kx+4,
4A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(-k,0).
∵PQ=λ1QA,∴Q分PA的比为λ1. 由定比分点坐标公式得
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下同方法一.
方法三:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.
4?4?1x1?x??(1??1),???k1???1k???11???y??4.?0?4?1y11???11???1??
4设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(-k,0).
∵PQ=λ1QA=λ2QB,
444∴(-k,-4)=λ1(x1+k,y1)=λ2(x2+k,y2).
∴-4=λ1y1=λ2y2.
442∴λ1=-y1,λ2=-y.
8又λ1+λ2=-3,
121∴y1+y2=3,
即3(y1+y2)=2y1y2.
y2将y=kx+4代入x2-3=1得
(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.
∵3-k2≠0，否则l与渐近线平行，
48?3k22422∴y1+y2=3?k,y1y2=3?k. 48?3k22422∴3×3?k=2×3?k.
∴k=±2. ∴Q(±2,0).
方法四：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.
4设l的方程:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(-k,0).
∵PQ=λ1QA,
44∴(-k,-4)=λ1(x1+k,y1).
4?k44x1?k=-kx1?4. ∴λ1=
4同理,λ2=-kx2?4.
448λ1+λ2=-kx1?4-kx2?4=-3,
即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0.(*)
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?y?kx?4,??2y2?1,?x-3?又
消去y得(3-k2)x2-8kx-19=0.
当3-k2=0时,则直线l与双曲线的渐近线平行,不合题意,3-k2≠0.
8k?x?x?,122??3-k??xx?-19.12?3-k2 ?由韦达定理有
代入(*)式得k2=4,k=±2.
∴所求Q点的坐标为(±2,0).
x2y22218.(2006江西高考,理21文21)如图,椭圆Q:a+b=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕
点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程;
?(2)(理)若在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0＜θ≤2).确定θ的值,使原点距椭圆Q的右准线l最远.
此时,设l与x轴交点为D.当直线m绕点F转动到什么位置时,△ABD的面积最大? (文)
?若在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0＜θ≤2).设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N.当θ为何
值时,△MNF为一个正三角形? 解:如图.
x2y222(1)设椭圆Q:a+b=1上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),
又设P点坐标为P(x,y),则
222222??bx1?ay1?ab,?222222??bx2?ay2?ab.(1)(2)
1°当AB不垂直x轴时,x1≠x2,
由①-②得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0,
y1?y2b2xy2∴x1?x2=-ay=x?c.
∴b2x2+a2y2-b2cx=0.(*) 2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(*). 故所求点P的轨迹H的方程为b2x2+a2y2-b2cx=0.
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a2a2(2)(理)因为椭圆Q右准线l方程是x=c,原点距椭圆Q的右准线l的距离为c,
?由于c2=a2-b2,a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0＜θ≤2), a21?sin??cos???则c=
1?cos?=2sin(2+4).
??当θ=2时,上式达到最大值,所以当θ=2时,原点距椭圆Q的右准线l最远.
此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1.
x2y2设椭圆Q:2+1=1上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),
111△ABD面积S=2|y1|+2|y2|=2|y1-y2|.
x2y2设直线m的方程为x=ky+1,代入2+1=1中,得(2+k2)y2+2ky-1=0.
2k122由韦达定理得y1+y2=-2?k,y1y2=-2?k, 8(k2?1)224S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(k?2),
8t令t=k2+1≥1,得4S2≤4t=2,
当t=1,k=0取等号.
因此,当直线m绕点F转动到垂直x轴位置时,△ABD的面积最大. (文)
c(x?)2
y2c222
因为轨迹H的方程可化为a+b=(2a)2.
cbccbc∴M(2,2a),N(2,-2a),F(c,0)使△MNF为一个正三角形时,
bc2a?cb则tan6=2=a,即a2=3b2.
?由于a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0＜θ≤2),
14则1+cosθ+sinθ=3sinθ,得θ=2arctan2(或表示为θ=arctan3).
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