19∴所求圆的方程为(x+2)2+(y±2)2=4.
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
x2代入2+y2=1,
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. ∵直线AB过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB中点N(x0,y0),
4k22k2k1222则x1+x2=-2k?1,x0=2(x1+x2)=-2k?1,y0=k(x0+1)=2k?1,
1∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-k(x-x0).
2k2k2k2112222令y=0,得xG=x0+ky0=-2k?1+2k?1=-2k?1=-2+4k?2.
1∵k≠0,∴-2＜xG＜0.
1∴点G横坐标的取值范围为(-2,0).
x2y22215.(2006湖北高考,理20文21)设A、B分别为椭圆a+b=1(a,b＞0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于
焦距,且x=4为它的右准线. (1)求椭圆的方程;
(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.
解析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
?a?2c,?2?a??4,(1)解:依题意得?c
?a?2,?解得?c?1.从而b=3, x2y2故椭圆方程为4+3=1.
(2)解法一:由(1)得A(-2,0),B(2,0). 设M(x0,y0).
32∵M点在椭圆上,∴y=4(4-x0). ①
20又M点异于顶点A、B, ∴-2＜x0＜2.
6y0
由P、A、M三点共线可得P(4,x0?2). 6y0
从而BM=(x0-2,y0),BP=(2,x0?2).
11
26y0BP=2x0-4+x0?2 ∴BM·
22xx?200=(-4+3y0). ②
5BP=2(2-x0). 将①式代入②式化简得BM·
BP＞0.于是∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内. ∵2-x0＞0,∴BM·
解法二:由(1)得A(-2,0),B(2,0). 设P(4,λ)(λ≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
??则直线AP的方程为y=6(x+2),直线BP的方程为y=2(x-2).
∵点M、N分别在直线AP、BP上,
??∴y1=6(x1+2),y2=2(x2-2),
?2从而y1y2=12(x1+2)(x2-2). ③
??y?(x?2),??6?22xy???1,?3联立?4消去y,
得(27+λ2)x2+4λ2x+4(λ2-27)=0. ∵x1,-2是方程的两根,
4(?2?27)2∴(-2)·x1=??27, 2(27??2)2即x1=??27. ④
BN=(x1-2,y1)·又BM·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2. ⑤
5?2BN=?2?27(x2-2). 于是由③④式代入⑤式化简可得BM·
∵N点在椭圆上,且异于顶点A、B,
∴x2-2＜0. 又∵λ≠0,
5?22BN＜0, ∴??27＞0,从而BM·
故∠MBN为钝角,即点B在以MN为直径的圆内.
解法三:由(1)得A(-2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1?x2y1?y22,2), 则-2＜x1＜2,-2＜x2＜2.又MN的中点Q的坐标为(
1y1?y21x1?x22-2)2+(2)2-4［(x1-x2)2+(y1-y2)2］. ∴|BQ|2-4|MN|2=(
1化简得|BQ|2-4|MN|2=(x1-2)(x2-2)+y1y2. ⑥
y1y2直线AP的方程为y=x1?2(x+2),直线BP的方程为y=x2?2(x-2).
12
∵点P在准线x=4上,
6y12y2∴x1?2=x2?2, 3(x2?2)y1x1?2. ⑦ 即y2=
又∵M点在椭圆上,
x12y12322∴4+3=1,即y1=4(4-x1). ⑧
15于是将⑦⑧式代入⑥式化简可得|BQ|2-4|MN|2=4(2-x1)(x2-2)＜0.
从而B在以MN为直径的圆内.
x2y216.(2006湖南高考,理21)已知椭圆C1:4+3=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p＞0),且C1、C2的公共弦AB过椭
圆C1的右焦点.
(1)当AB⊥x轴时,求m、p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(2)是否存在m、p的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的m、p的值;若不存在,请说明理由.
答案：(1)解：当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称.
33所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,2)或(1,-2).
99因为点A在抛物线上,所以4=2p,即p=8.
9此时C2的焦点坐标为(16,0),该焦点不在直线AB上.
(2)解法一:假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上, 由(1)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为y=k(x-1).
?y?k(x-1),?2?xy2?1,??43?由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. ① 设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
8k22则x1、x2是方程①的两根,x1+x2=3?4k. ?(y-m)2?2px,?由?y?k(x-1),消去y得(kx-k-m)2=2px. ②
p因为C2的焦点F′(2,m)在y=k(x-1)上,
pkp所以m=k(2-1),即m+k=2.
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kp代入②有(kx-2)2=2px,
k2p2即k2x2-p(k2+2)x+4=0. ③
由于x1、x2也是方程③的两根,
p(k2?2)k2所以x1+x2=.
8k4p(k2?2)8k22222(4k?3)(k?2). ④ k3?4k从而=,p=
又AB过C1、C2的焦点,
pp所以|AB|=(x1+2)+(x2+2)
=x1+x2+p
11=(2-2x1)+(2-2x2).
4k2?1212k2322则p=4-2(x1+x2)=4-4k?3=4k?3. ⑤ 8k44k2?12222由④⑤得(4k?3)(k?2)=4k?3,
即k4-5k2-6=0.解得k2=6.
4于是k=±6,p=3.
2因为C2的焦点F′(3,m)在直线y=±6(x-1)上, 266所以m=±6(3-1),即m=3或m=-3.
466由上知,满足条件的m、p存在,且m=3或m=-3,p=3.
解法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
p因为AB既过C1的右焦点F(1,0),又过C2的焦点F′(2,m),
pp所以|AB|=(x1+2)+(x2+2)
11=x1+x2+p=(2-2x1)+(2-2x2).
2即x1+x2=3(4-p). ①
由(1)知x1≠x2,p≠2,
m?0y2?y1p2m?1于是直线AB的斜率k=x2?x1=2=p?2, ②
2m且直线AB的方程是y=p?2(x-1).
14
4m(1?p)2m所以y1+y2=p?2(x1+x2-2)=3(p?2). ③
22??3x1?4y1?12,?22?3x2?4y2?12, 又因为?y2?y1所以3(x1+x2)+4(y1+y2)·x2?x1=0. ④ 3(p?4)(p?2)216(1?p)将①②③代入④得m2=. ⑤
2??(y1-m)?2px1,?2?(y2-m)?2px2, 因为?x2?x1所以y1+y2-2m=2py2?y1. ⑥
3p(p?2)2将②③代入⑥得m2=16?10p. ⑦
3(p?4)(p?2)23p(p?2)216(1?p)由⑤⑦得=16?10p,即3p2+20p-32=0. 4解得p=3或p=-8(舍去).
42将p=3代入⑤得m2=3. 66所以m=3或m=-3.
466由上知,满足条件的m、p存在,且m=3或m=-3,p=3.
x2y217.(2006山东高考,理21)双曲线C与椭圆8+4=1有相同的焦点,直线y=3x为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当PQ=λ1QA=λ2QB,
8且λ1+λ2=-3时,求Q点的坐标.
x2y222解:(1)设双曲线方程为a-b=1.
x2y2由椭圆8+4=1求得两焦点为(-2,0),(2,0).
∴对于双曲线C:c=2.
又y=3x为双曲线C的一条渐近线,
b∴a=3.解得a2=1,b2=3.
y2∴双曲线C的方程为x2-3=1.
(2)方法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.
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