2014年各省市信息卷精选答案理数
精选一
1、C 2、A 3、D 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、?1 10、80
11、12 12、?4
13、①③
14、13
15、相交
16．解：（1）f(x)的最小正周期为T= ?1?3?
3（2）f(3?3?2)?tan(??6?6)?tan3?3
（3）由f(3??7?2)??12得tan[13(3??7?2)??6]??12即tan(???)??12所以tan???12
?cos??0
sin(???)?cos(???)sin??cos?2sin(????)sin??cos?．
4?tan??1tan??1 ?12?1???3
?12?1另解：先求sin?和cos?再求得最后正确答案这步也得3分 17．解:（1）系统抽样
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：
0.01?5?0.02?5?0.04?5?0.06?(x?75)?0.5，解得x?77.5
各省市信息卷精选（理数答案）1 即中位数的估计值为77.5
（3）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：m1?0.01?5?40?2（辆），
车速在[65,70)的车辆数为：m2?0.02?5?40?4（辆） ∴??0,1,2，
P(??0)?C2011022C4C2?1，P(??1)?C2C48C2C462?，P(??2)?2?，615C615C615?的分布列为
? 0
1
2
P
18615 15 15 均值E(?)?0?1?815?2?615?43.
18．(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,A1B,A1E,
∵AB=AA01,?BAA1=60,∴?BAA1是正三角形, ∴A1E⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB,
∵CE?A1E=E,A1E?平面A1EC，CE?平面A1EC
各省市信息卷精选（理数答案）2
∴AB⊥面CEA1, ∴AB⊥AC1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,EA1⊥AB,
又∵面ABC⊥面ABB1A1,面ABC∩面ABB1A1=AB,∴EC⊥面ABB1A1,∴EC⊥EA1,
∴EA,EC,EA????????1两两相互垂直,以E为坐标原点,EA的方向为x轴正方向,|EA|为单位长度,建立如
图所示空间直角坐标系O?xyz, ???9分
有题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0), 则???BC?=(1,0,3),????BB????????1=AA1=(-1,0,3),A1C=(0,-3,3),
设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,
则???n????BC????????0,即??n?BB?x?3z?0,可取n=(3,1,-1), 1?0??x?3y?0
∴cosn,????An?????A1C=|n||????1C10A1C|5,
∴直线A101C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为5
19．解:(Ⅰ)由已知得到:
(2a2?2)2?5a1a3?4(a1?d?1)2?50(a1?2d)?(11?d)2?25(5?d)
?121?22d?d2?125?25d?d2?3d?4?0???d?4?d??1; a或??n?4n?6?an?11?n各省市信息卷精选（理数答案）3
(Ⅱ)由(1)知,当d?0时,an?11?n,
①当1?n?11时,
a???|an(10?11?n)n(21?n)n?0?|a1|?|a2|?|a3|??n|?a1?a2?a3?????an?
2?2
②当12?n时,
an?0?|a1|?|a2|?|a3|?????|an|?a1?a2?a3?????a11?(a12?a13?????an)2
?2(a1?a2?a3?????a11)?(a1?a2?a3?????an)?2?11(21?11)n(21?n)n?21n?2?2?2202?n(21?n),(1|aa??n?11)所以,综上所述:|a?21|?2|?|a3|?????|n|??; ?n2?21n?220??2,(n?12)
20．解：（1）两圆的圆心坐标分别为C1(1,0),和C2(?1,0) ∵|PC1|?|PC2|?22?|C1C2|?2
∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C1(1,0),和C2(?1,0)为焦点，长轴长为
2a?22的椭圆， a?2,c?1,b?a2?c2?2?1?1
∴椭圆的方程为x22?y2?1，即动点P的轨迹M的方程为x22?y2?1 （2）(i)当直线l的斜率不存在时，易知点A(2,0)在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在。?????7分
（ii）设直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y?k(x?2)
?由方程组?x22?2?y?1得(2k2?1)x2?8k2x?8k2?2?0①
??y?k(x?2) 各省市信息卷精选（理数答案）4
依题意???8(2k2?1)?0解得?22?k?22 当?222?k?2时，设交点C(x1,y1),D(x2,y2)，CD的中点为N(x0,y0)， 8k2??8k2??x2方程①的解为x1?x24k1?4k2?2,x2?4k2?2 ，则x0?2?2k2?1 ∴y?4k2??20?k(x0?2)?k??2k2?1?2???k2k2?1
要使|C1C|?|C1D|，必须C1N?l，即k?kC1N??1
?2k∴k?2k2?1?14k2??1，即k2?k?1?0② 2k2?1?02∵??12??1?0或，∴k2?k?11?1?42?0无解
所以不存在直线l，使得|C1C|?|C1D| 综上所述，不存在直线l，使得|C1C|?|C1D|
21.解：(1)因为ex?0，所以不等式f(x)?0即为ax2?x?0，又因为a?0，所以不等式可化为x(x?1a)?0，
所以不等式f(x)?0的解集为?1???a,0???．
(2)当a?0时, 方程即为xex?x?2，由于ex?0，所以x?0不是方程的解，所以原方程等价于
ex?2x?1?0，令h(x)?ex?2x?1，因为h?(x)?ex?2x2?0对于x????,0???0,???恒成立，
所以h(x)在???,0?和?0,???内是单调增函数， 又h(1)?e?3?0，h(2)?e2?2?0，h(?3)?e?3?13?0，h(?2)?e?2?0，所以方程f(x)?x?2有且只有两个实数根，且分别在区间?1，2?和??3，?2?上，所以整数t的所有值为??3,1?． (3)f?(x)?(2ax?1)ex?(ax2?x)ex?[ax2?(2a?1)x?1]ex，
①当a?0时，f?(x)?(x?1)ex，f?(x)≥0在[?1，1]上恒成立，当且仅当x??1时取等号，故a?0各省市信息卷精选（理数答案）5 符合要求；
②当a?0时，令g(x)?ax2?(2a?1)x?1，因为??(2a?1)2?4a?4a2?1?0，
所以g(x)?0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1?x2，因此f(x)有极大值又有极小值． 若a?0，因为g(?1)?g(0)??a?0，所以f(x)在(?1，1)内有极值点， 故f(x)在??1，1?上不单调． 若a?0，可知x1?0?x2，
因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[?1，1]上单调，因为g(0)?1?0，必须满足??g(1)≥0,即?g(?1)≥0.??3a?2≥0,所以2??a≥0.?3≤a?0. 综上可知，a的取值范围是?2???3,0???．
精选二
1.【解析】A 集合A??x│xx?1?0???x│0?x?1?，B＝?x│x2?2x???x│0?x?2?， 所以A?B??│x0?x?1?。
2.【解析】A
1?2i(1?2i)(2?i)?5i2?i?(2?i)(2?i)?5??i，所以对应点的坐标为(0,-1),先A。 3.【解析】D 因为a1?a5?a9?8?，所以a85??,所以a3?a7?2a5?1633?, 所以cos(a3?a167)?cos3???12。 4.B 5.A 6.B
7.【 解析】D 因为函数f(x)?sin(?x??6)(??0)和g(x)?2cos(2x??)?1的图象的对称轴完全
相同，所以两函数的周期相同，所以??2，所以f(x)?sin(2x??)，当x?[0?6,2]时，
各省市信息卷精选（理数答案）6
2x??6?[??6,5?6]，所以sin(2x??6)?????1?2,1??，因此选A。
8.D
9.【 解析】D.分三类：第一类，有一次取到3号球，共有C13?2?2?12取法；第二类，有两次取到3号球，共有C23?2?6取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。
10.【 解析】C 因为函数y?f(x)(x?R)满足f(x?1)?f(x?1)，所以函数y?f(x)(x?R)是周期为2 的周期函数，又因为x?[?1,1]时，f(x)?1?x2，所以作出函数y?f(x)(x?R)的图像：
由图知：函数h(x)?f(x)－g(x)在区间[?5,5]内的零点的个数为8个。
11．4 【 解析】在同一坐标系中作出函数y?2x与y?log2x的图象。它们与直线y??x?4的交点为A?x1,y1?、B?xx2,y2?，则??x1,??x2。因为函数y?2与y?log2x互为反函数，由反函数性
质知x2?y1，所以????x1?x2?x1?y1?4。 12. 1006【 解析】a4n?1??4n?1?cos?4n?1???2??4n?1?cos2?0
a4n?2??4n?2?cos?4n?2??2??4n?2?cos????4n?2?
a?4n?3??3?4n?3??4n?3?cos2??4n?3?cos2?0 各省市信息卷精选（理数答案）7 a4n?4??4n?4?cos?4n?4??2??4n?4?cos2??4n?4
所以a4n?1?a4n?2?a4n?3?a4n?4?2，于是S2013?20124?2?a2013?1006?0?1006。 13. ?3,2,2,2?
【 解析】不妨设x?y?z，由题易得?x?1?!?w!?3?x!??x?1?!?3?x!?x?2，通过验算可得
x?2,y?2,z?2,w?3。
14．6【解析】由柯西不等式可得：
(acos2??bsin2?)(cos2??sin2?)?(acos2??bsin2?)2 ?acos2??bsin2??acos2??bsin2??6
15. ③
①若f(x)?x2?2x,则由f(x221)?f(x2)得x1?2x1?x2?2x2,即(x1?x2)(x1?x2?2)?0,解得
x?log2x,x?2,1?x2,或x1?x2?2?0,所以①不是单函数.②若f?x????2?x,x?2则由函数图象可知当
f(x1)?f(x2),时,x1?x2,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域
内某个区间D上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.
16．解:（1）容易知道函数f(x)?aa2?1?ax?a?x?是奇函数、增函数。 f(1?m)?f(1?m2)?0?f(1?m)??f(1?m2)?f(m2?1)
????1?1?m?1??1?1?m2?1?1?m?2 ??1?m?m2?1（2）由（1）可知：当x????,2?时，f(x)?4的值为负?f(x)?4?0
?f(2)?4?a2?2a2?1a2?1?a?a??4?a?4?0
各省市信息卷精选（理数答案）8
?2?3?a?2?3且a?1
17．证明:(1) ∵PD?DC,E是PC的中点, ∴DE?PC.
∵PD?底面ABCD,∴PD?AD.又由于AD?CD,PD?CD?D, 故AD?底面PCD,
所以有AD?DE.又由题意得AD//BC,故BC?DE.
于是,由BC?PC?C,DE?PC,BC?DE可得DE?底面PBC. 故可得平面BDE?平面PBC
PEDFNCMAB
(2)取CD的中点F，连接AC与BD，交点为Ｍ，取ＤＭ的中点N，连接ＥＮ，ＦＮ，易知?ENF为二面角E?BD?C的平面角，又EF?122，FN?4，由勾股定理得EN?64，在Rt?EFN中，
cos?ENF?FNEN?33 所以二面角E?BD?C的余弦值为
33 （用空间向量做，答案正确也给６分） 18.解： (1)选择②式计算
a?sin215??cos215??sin15?cos15??1?12sin30??34.
(2)猜想的三角恒等式为
sin2??cos2(30???)?sin?cos(30???)?34. 各省市信息卷精选（理数答案）9 证明：sin2??cos2(30???)?sin?cos(30???)
?sin2??(cos30?cos??sin30?sin?)2?sin?(cos30?cos??sin30?sin?)
?sin2??34cos2??32sin?cos??14sin2??312sin?cos??2sin2? ?324sin??34cos2??34. 19．解: (1)a?2,f(x)?12x2?2lnx,f'(x)?x?21x,f'(1)??1,f(1)?2,
f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?2y?3?0.
(2)由f'(x)?x?ax2?ax?x. 由a?0及定义域为(0,??),令f'(x)?0,得x?a.
①若a?1,即0?a?1,在(1,e)上,f'(x)?0,f(x)在[1,e]上单调递增, 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f(1)?12. ②若1?a?e,即1?a?e2,在（1,a)上,f'(x)?0,f(x)单调递减;在（a,e)上,f'(x)?0,f(x)单调递增,因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(a)?12a(1?lna). ③若a?e,即a?e2,在(1,e)上,f'(x)?0,f(x)在[1,e]上单调递减, 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)?12e2?a. 综上,当0?a?1时,fmin(x)?12;当1?a?e2时,f?1min(x)2a(1?lna); 当a?e2时,f12min(x)?2e?a 可知当0?a?1或a?e2时,f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当1?a?e2时,要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,则
各省市信息卷精选（理数答案）10