??12a(1?lna)?0,?a?∴???f(1)?1?0, 即?e?,此时,e?a12?2?a?1e2?2e. ???f(e)?1?222e?a?0,所以,a的取值范围为(e,12e2). 20．解: (1) 由题意，可设直线AB的方程为y?kx?m，代入抛物线方程x2?4y得
x2?4kx?4m?0 ①
设A、B两点的坐标分别是?x1,y1?,?x2,y2?，则x1,x2是方程①的两根，所以x1x2??4m
由???AP??????PB?得???x1x，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为?0,?m?，从而
2???QP???0,2m? ???QA??????QB???x1,y1?m????x2,y2?m???x1??x2,y1??y2?(1???m) ???QP??????QA??????QB???2m[y1??y2??1???m]
?2m[x221x1x2?4?x?4???1?x1?x??m]22?2m?xxx?4m1?x2??124x2 ?2m?x??4m?4m1?x2?4x2?0所以???QP??????QA??????QB??
(2) 由??x?2y?12?0x2?4y得A,B的坐标分别为?6,9?,??4,4?
?抛物线x2?4y在点A处切线的斜率为3.
?b?91设圆C的方程是?x?a?2??y?b?2?r2，则????a?63
???a?6?2??b?9?2??a?4?2??b?4?2各省市信息卷精选（理数答案）11 解之得a??3,b?2322 r2??a?4?2??b?4?2?1252 故，圆C的方程是???x?3?2?23?21252?????y?2???2 xx21．解：(1)f'(x)?1(x?x?a)ea?(2x?1)ea?1x2x(x?1?2a)eaaa
当a?1时,f'(x)?x(x?3)ex
解f?(x)?0得x?0或x??3, 解f?(x)?0得?3?x?0 所以f(x)单调增区间为(??,?3)和(0,??),单调减区间为(?3,0)
(2)①当x??5时,f(x)取得极值, 所以f'(?5)?1xa(?5)(?5?1?2a)ea?0解得a?2(经检验a?2符合题意)
f'(x)?12x?x?5?ex x (??,?5) ?5 (?5,0) 0 (0,??) f?(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ ↘ ↗ 所以函数f(x)在???,?5?,
?0???递增,在??5,0?递减
当?5?m??1时,f(x)在?m,m?1?单调递减, m?1fmin(x)?f(m?1)?m(m?3)e2
当?1?m?0时 m?0?m?1
f(x)在?m,0?单调递减,在?0,m?1?单调递增,fmin(x)?f(0)??2
各省市信息卷精选（理数答案）12
m当m?0时,f(x)在?m,m?1?单调递增,fmin(x)?f(m)?(m?2)(m?1)e2
综上,f(x)在?m,m?1?上的最小值
?m?1?m(m?3)e2,?5?m??1,f(x)??min??2,?1?m?0,
??m?(m?2)(m?1)e2,m?0.②令f'(x)?0 得x?0,x??5(舍)
因为f(?2)?0,f(0)??2,f(1)?0 所以fmax(x)?0,fmin(x)??2
所以,对任意x1,x2?[?2,1],都有|f(x1)?f(x2)|?fmax(x)?fmin(x)?2
精选三
一：选择题。DDBC CDAD 二：填空题：
9. ___2___,10. ___9___ ,11. __222123___,12. ___25___,13. ___3___,14. __?4__15. __?__，____
14____;16. _____2___,___1093_____. 三：解答题
17解：（Ⅰ）f(x)?3(1?cos2x)2?132sin2x?2 ?13?2sin2x?2cos2x?sin(2x?3)． ……………3分 ?0?x????2???52， ??3?2x?3?3．?当2x?3?2时，即x??12时，f(x)的最大值为1． …………6分
（Ⅱ）?f(x)?sin(2x????5?3)，若x是三角形的内角，则0?x??，∴?3?2x?3?3．
令f(x)?12，得si2nx?(?13)?2，∴2x??3??6或2x??3?5?6，解得x??4或x?7?12． …………8分 各省市信息卷精选（理数答案）13 由已知，A,B是△ABC的内角，A?B且f(A)?f(B)?12，∴A??4，B?7?12，∴C???A?B??6． ……………10分 ?2又由正弦定理，得BCsinAsin4AB?sinC??2sin?1?2． ……………12分 6218. 解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．
211P(X?0)?C1521C5 C1515C2521C2?P(X?1)?C2?P(X?2)?2?? 20382038C203819根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．（4分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”
的有15人．由题意知，X的可能取值为0，1，2，且P(X?0)?C2521C1C115 15C2?，P(X?1)?2?15，2038C2038X?2)?C2P(521C2?38?19．∴X的分布列为：
20X 0 1 2 P 2138 15138 19 ∴E(X)?0?21152138?1?38?2?38?2。
19. 解：（1）证明：根据题意，在?AOC中，AC?a?2，AO?CO?2，
所以AC2?AO2?CO2，所以AO?CO．因为AC、BD是正方形ABCD的对角线，
所以AO?BD．因为BD?CO?O，所以AO?平面BCD． （2）
各省市信息卷精选（理数答案）14
解法1：由（1）知，CO?OD，如图，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O?xyz，则有O?0,0,0?，D?0,2,0?，C?2,0,0?，B?0,?2,0?．设
A?x0,0,z0??x0?，则???OA???x????0?0,0,z0?，OD??0,2,0?．
又设面ABD的法向量为n??x??n????OA??0,??x0x1?z0z1?0,1,y1,z1?，则????即? 所以y??1?0，令x1?z?n?OD?0.??2y0，1?0.则z1??x0．所以n??z0,0,?x0?．因为平面BCD的一个法向量为m?(0,0,1)，且二面角A?BD?C的大小为120?，所以cosmn,?cos?1?2120，得z220?3x0．因为OA?2，所以
x222．解得x26?0?z0?0??2,z0?2．所以A???22,0,6?．设平面ABC的法向量为?2???l??x???2,y2,z2?BA?????26?????，因为?2,2,2??,BC?，则?????2,2,0?????l?BA?????0,，即???l?BC?0.??2???2x2y?62?22z?20,令x2?1，则y2??1,z2?3．所以l?(1,?1,3)． ?2x2?2y2?0.设二面角A?BC?D的平面角为?，所以cos??cosl,m?3?151?1?5． (3)2?所以tan??63．所以二面角A?BC?D的正切值为63． 解法2：折叠后在△ABD中，BD?AO，在△BCD中，BD?CO． 所以?AOC是二面角A?BD?C的平面角，即?AOC?120?。
各省市信息卷精选（理数答案）15 在△AOC中，AO?CO?2，所以AC?6．如图，
过点A作CO的垂线交CO延长线于点H，因为BD?CO，BD?AO，
且CO?AO?O，所以BD?平面AOC． 因为AH?平面AOC，所以BD?AH．又CO?AH，且CO?BD?O，所以AH?平面BCD． 过点作A作AK?BC，垂足为K，连接HK， 因为
BC?AH，AK?AH?A，所以BC?平面AHK． 因为HK?平面AHK，所以BC?HK．所
以?AKH为二面角A?BC?D的平面角． 在△AOH中，?AOH?60?，AO?2，则AH?62，OH?22，所以CH?CO?OH?2?2322?． 在Rt△CHK中，?HCK?45?2，所以6HK?CH3AH62?2 在Rt△AHK中，tan?AKH?KH?23?3．所以二面角A?BC?D的正切2值为
63． 20. 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为
320|v?c|?12，故y?10035v(20|v?c?|2?1)v(?3v|?c|. 10)（II）由(I)知，当0?v?c时，y?5v(3c?3v?10)?5(3c?10)v?15； 各省市信息卷精选（理数答案）16
?5(3c?10)当c?v?10时，y?5v(3v?3c?10)?5(10?3c)v?15.故y????v?15,0?v?c?5(10?3c)。
??v?15,c?v?10(1)当0?c?103时，y是关于v的减函数.故当v?10时，y3cmin?20?2。
(2) 当
103?c?5时，在(0,c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数；故当v?c时，y50min?c。 21. 解：（1）设M(x,y)、P(x0,y0)，由于DM??DP和PD?x轴，所以
???x?x0??x0?xx2y2??y??y??0??y0?y 代入圆方程得：?4?4?2?1--------------2分 当1???1时，轨迹C表示焦点在x轴上的椭圆；当??1时轨迹C就是圆O； 当??1时轨迹C表示焦点是y轴上的椭圆.---------------4分
（2）由题设知A(2,0)，B(0,2?)，E，F关于原点对称，所以设E(x221,3x1)，F(?x1,?3y1)，
G(x2xy0,3x0)，不妨设x1?0---------------6分 。 直线 AB的方程为：2?2??1把点G坐标
代入得x6?x2x26?0?3??2。又， 点E在轨迹C上，则有14?19?2?1?x1?9?2-------8分?4∵ EG?6GF即 x50?x1?6(?x1?x0) ?x0?7x1-----------10分 ∴ 6??5?6?3??27（??0189?2）? ??or----------12分 ?42922. 解析：（I）由h(x)?x3?x?x知，x?[0,??)，而h(0)?0，且h(1)??1?0,(2)h6?2?0?，则x?0为h(x)的一个零点，且h(x)在（，12）内有零点，因此h(x)至少有两个零点 解法1：h'(x)?3x2?1?12x?12，记?(x)?3x2?1?12x?12，则?'(x)?6x?1?34x2。
当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零
各省市信息卷精选（理数答案）17 点。又因为?(1)?0,?(33)?0，则?(x)在(33,1)内有零点，所以?(x)在(0,??)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x?(0,x1)时，?(x)??'(x1)?0；当x?(x1,??)时，?(x)??'(x1)?0； 所以，
当x?(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)?0，则h(x)在(0,x1]内无零点； 当x?(x1,??)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,??)内至多只有一个零点； 从而h(x)在(0,??)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。
1解法2：h(x)?x(x2?1?x?12)，记?(x)?x2?1?x?2，则?'(x)?2x?1?32x2。
当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点。因此h(x)在(0,??)内也至多只有一个零点， 综上所述，h(x)有且只有两个零点。 （II）记h(x)的正零点为x30，即x0?x0?x0。
（1）当a?xa，即a30时，由a1?1?x0.而a2?a1?a1?x30?x0?x0，因此a2?x0，由此猜测：
an?x0。下面用数学归纳法证明：
①当n?1时，a1?x0显然成立；
②假设当n?k(k?1)时，有ak?x0成立，则当n?k?1时，由
a3k?1?ak?ak?x0?x0?x30知，ak?1?x0，因此，当n?k?1时，ak?1?x0成立。
故对任意的n?N*，an?x0成立。
（2）当a?x30时，由（1）知，h(x)在(x0,??)上单调递增。则h(a)?h(x0)?0，即a?a?a。从而a32?a1?a1?a?a?a3，即a2?a，由此猜测：an?a。下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，a1?a显然成立；
各省市信息卷精选（理数答案）18
②假设当n?k(k?1)时，有ak?a成立，则当n?k?1时，由
a3k?1?ak?ak?a?a?a3知，ak?1?a，因此，当n?k?1时，ak?1?a成立。
故对任意的n?N*，an?a成立。
综上所述，存在常数M?max{x0,a}，使得对于任意的n?N*，都有an?M.
精选四
1．C 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A
11．3 12．5
6 13．96 14．?105 15．（Ⅰ）5；（Ⅱ）230
16．解：（Ⅰ）由2cos（B－C）＋1＝4cosBcosC，得
2（cosBcosC＋sinBsinC）＋1＝4cosBcosC，
即2（cosBcosC－sinBsinC）＝1，亦即2cos（B＋C）＝1， ∴cos（B＋C）＝
12． ∵0＜B＋C＜π，∴B＋C＝
?3． ∵A＋B＋C＝π，∴A＝2?3．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A＝2?3．
由S12?△ABC＝23，得2bcsin3＝23，∴bc＝8． ①
由余弦定理a2
＝b2
＋c2
－2bccosA，得 （27）2＝b2＋c2－2bccos
2?，即b2＋c23＋bc＝28， ∴（b＋c）2－bc＝28． ② 将①代入②，得（b＋c）2－8＝28， ∴b＋c＝6．
17．解：（Ⅰ）如图，连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
各省市信息卷精选（理数答案）19
又D是AB的中点，连结DF，则BC1∥DF． ∵BC1?平面A1CD，DF?平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD． （Ⅱ）由AC＝CB＝22AB，得AC⊥BC． 以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
设CA＝2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2）， ∴＝（1，1，0），＝（0，2，1），＝（2，0，2）． 设n＝（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，则 即??x1?y1?0,可取n＝（1，－1，－1）?2x1?z．
1?0.同理，设m是平面A1CE的法向量，则
可取m＝（2，1，－2）． 从而cos＜n，m??n?mnm?33， ∴sin＜n，m＞＝
63． 故二面角D-A61C-E的正弦值为
3． 18．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则
∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴a25?a2a14，
即（1＋4d）2＝（1＋d）（1＋13d）， 解得d＝0（舍去），或d＝2． ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1．
各省市信息卷精选（理数答案）20