3．已知数列?an?，a1?3，a2?6，且an?2?an?1?an，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. ?3 C. ?12 D. ?6
2、由an与Sn的关系求an
由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为an??(n?1)?S1。
?Sn?Sn?1(n?2)例1．(14分)已知数列的通项公式an?3n?2n?1，求前n项的和。
例2.(14分)（1）已知Sn?n2?2n，求an；（2）已知Sn?n2?3n?1，求an
变式1．(16分) 数列?an?为正项数列且4Sn?(an?1)2，求通项an。 变式2.已知数列的通项公式an?3n?2n?1，求前n项的和。 典型※例题解析※
〖例〗根据下列条件，确定数列?an?的通项公式。
思路解析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。
解答：（1）
（2）
1
??
故
累乘可得，
（3）
注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加an=（an-an?1）+（an?1-an?2）+??+（a2-a1）+a1；累乘：an=
anan?1an?1an?2a2a1等方法。 a1二、等差数列及其前n项和 （一）等差数列的判定 ※相关链接※
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即
2an?an?1?an?1(n?2)。
1、等差数列｛an｝中，a1=60,an+1=an+3则a10为???????????? （ ）
A、-600 B、-120 C、60 D、-60 9.在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
2
（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 ※例题解析※
〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2SnSn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{
1 21}是等差数列； Sn（2）求an的表达式。
思路解析：（1）Sn?Sn?1?2SnSn?1?0?11与的关系?结论； SnSn?1（2）由
1的关系式?Sn的关系式?an Sn11111-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}
Sn?1SnSnSn?1Sn解答：（1）等式两边同除以SnSn?1得
是以
11==2为首项，以2为公差的等差数列。 S1a1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时，
2nSnS1（2）由（1）知
?1?11?2。又∵a1?，不适合上式，故an??an=2Sn·Sn?1=
122n(n?1)???2n(n?1)（二）等差数列的基本运算 ※相关链接※
(n?1)。
(n?2)1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式
Sn?
n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五个量a1，an，d,n, Sn,知其中三个就能求223
另外两个，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为
SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。 n222n※例题解析※
〖例〗已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn?2np?nq(n?N?,p,q为常数)，且x1，
x4，x5成等差数列。求：
（1）p,q的值；
（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。
思路解析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由x1=3得2p?q?3??????????????① 又
x4?24p?4q,x5?25p?5q,且x1?x5?2x4，得
3?25p?5q?25p?8q???????②
由①②联立得p?1,q?1。 （2）由（1）得xn?2n?n，
（三）等差数列的性质 ※相关链接※
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 2、等差数列的简单性质：
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和。
4
（1）若m+n=p+q,则am?an?ap?aq,特别：若m+n=2p，则am?an?2ap。 （2）am,am?k,am?2k,am?3k,仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,L也是等差数列； （4）Sn?1?(2n?1)an； （5）若n为偶数，则S偶?S 奇?nd；若n为奇数，则S偶?S 奇?a中； （中间项）2（6）数列{cgan},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，是
{bn}等差数列。
典型例题
1．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?＝________；225
2.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7?14，则a3?a5的值为（ ） A．2 答案 B
3.（2009厦门一中文）在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ ） A．18 B 27 C 36 D 9 答案 A
24.（2009长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，{a}2a?a?2a11?0，则a7的值n37．．．
B．4 C．7 D．8
为 A．0 答案 B
（ ）
B．4
C．0或4 D．2
5、（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 答案 24
6、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
7、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 8、等差数列{an}的公差为
1，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+??+ a99=( ) 2(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值
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