5an?1?(an?1?1)6解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以，
又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列； ?5?an?1??15????6?(2) 由(1)知：?5???由Sn?1>Sn，得?6?n?1n?1?5?an?1?15????6?，得
n?1?5?Sn?75????6?，从而
n?1?n?90(n?N*)；
?22n?log5?1?14.9255，6，最小正整数n?15．
7. （2010江西理数）22. （本小题满分14分） 证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b 存在无穷多个互不相似的三角形△n成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 222 （1）考虑到结构要证a?c?2b，；类似勾股数进行拼凑。 222222a，b，ca，b，cnnnnnn，其边长为正整数且 2221,5,7证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整 数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 2222222a，b，cb?a?c?bnnnnnnn证明：当成等差数列，则， 分解得： (bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) 24n(n?1)做两种途径的分解 选取关于n的一个多项式， 4n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1) ?an?n2?2n?1?2?bn?n?1(n?4)?c?n2?2n?1?n对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 16 m2?2m?1m2?1m2?2m?1?2?22n?1n?2n?1，任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例n?2n?1 m?1m?1??m?n由比例的性质得：n?1n?1，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 【考点精题精练】 一、选择题 1、设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5?S6，S6?S7?S8，则下列结论错误的是（C） A.d＜0 C.S9＞S5 * B.a7＝0 D.S6与 S7均为Sn的最大值 解析：由S5 2、（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ） A.130 B.170 C.210 D.260 m(m?1)?ma?d?30??12??2ma?2m(2m?1)d?1001??2解析：由题意得方程组， d?视m为已知数，解得 4010(m?2),a?1m2m2， ∴ S3m?3ma1?3ma1(3m?1)10(m?2)3m(3m?1)40d?3m??210222m2m {an}中， 3、（2010届·辽宁锦州高三期末考试（理））公差不为零的等差数列 22a3?a7?2a11?0，数列{bn}是等比数列，且 b7?a7,则b6b8?（D） （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 4、（2010届·浙江春浑中学高三1月月考）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若m?1， 17 2a?a?a?0，S2m?1?38，则m等于( B ) m?1m?1m且 A．9 B．10 C．20 D．38 5、（2010届·广东高三六校联考（理））设 ， ，则函数 的最大值为（D） A． B． C． D． ?2an,0?an<12an?1??1a2an?1,?an<1an???26、（2010届·山东莱阳一中月考（文））数列满足，若 则 1?25， a2009等于（B） 1234A．5 B．5 C．5 D．5 17、等差数列{an}中，已知a1?,a2?a5?4,an?33，则n为 （C） 3A．48 B．49 C．50 D．51 8、如果数列?an?是等差数列，则（B） (A)a1?a8?a4?a5 (B) a1?a8?a4?a5 (C) a1?a8?a4?a5 (D) a1a8?a4a5 9、如果a1,a2,,a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则（B） (A)a1a8?a4a5 (B) a1a8?a4a5 (C) a1?a8?a4?a5 (D) a1a8?a4a5 10、?an?是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于(C ) （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 1?2?3??n11、lim＝（C） n??n21(A) 2 (B) 4 (C) (D)0 212、已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么的值为（B ）。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题 ac?xy13、已知数列{an}是等差数列，a1=-9，S3=S7，那么使其前n项和Sn最小的ｎ是___5_____. 18 14、已知方程(x2?2x?m)(x2?2x?n)?0的四个根组成一个首项为的等差数列， 则|m?n|? 1 。 21415、设{an}是公比为q的等比数列，若{Sn}是等差数列，则q = 1 。 Sn是它的前n项和。16、（1）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2005?a2006?0,a2005?a2006?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是 4010 ； （2）已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项和为170，则这个数列的公比等于 2 ，项数等于 8 。 三、解答题 1、（福建泉州七中●2009高二月考）(本小题12分)已知等差数列 ?an?的前n项和为 Sn?pn2?2n?q(p,q?R),n?N （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足解析： (Ⅰ)解法一：当n?1时， an?2log2bn，求数列的{b}前n项和。 n a1?S1?p?2?q, 22a?S?S?pn?2n?q?p(n?1)?2(n?1)?q?2pn?p?2. n?2nnn?1当时, ?an?是等差数列, ?p?2?q?2p?p?2, ?q?0· ···········4分 解法二：当n?1时, a1?S1?p?2?q, 22a?S?S?pn?2n?q?p(n?1)?2(n?1)?q?2pm?p?2. n?2nnn?1当时, 当n?3时, a1?an?1?2pn?p?2?[2p(n?1)?p?2]?2p. a2?p?2?q?2p?3p?2?q. 又 a2?2p?2?p?2?3p?2, 所以3p?2?q?3p?2,得q?0.············4分 (Ⅱ)解：又 a3?a1?a52,?a3?18. a3?6p?p?2, ?6p?p?2?18, ?p?4 ?an?8n?6· ···········8分 19 4n?3a?2logbb?2n2nn又得. bn?124(n?1)?1?4n?3?24?16?b??b1?2,bn2,即n是等比数列。 2(1?16n)2nT??(16?1)nbn??n1?1615所以数列的前项和. 2、有四个互不相等实数，前3个成等比数列，它们的积为512，后3个数成等差数列，它们的和为48，求这四个数。 解：设四个互不相等实数分别为x,y?d,y,y?d,---------------2分 则3y?48,?y?16,----------------------------------------4分 2?16?d??16x??????16x?16?d??512---------------------------------------8分 ?d?8??,?x?4-----------------------------10分 故所求的四个数为4,8,16,20.--------------12分 20