等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，
an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。解决此类问题
的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。
※例题解析※
〖例〗设数列?bn?的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列?an?为等差数列，且
a6?14,a7?20。
（1） 求数列?bn?的通项公式；
（2） 若cn?anbn(n?N?)，Tn为数列?cn?的前n项和，求证：Tn?思路解析：（1）（2）
得结论； 放缩得结论。
7。 2解答：（1）由bn=2-2Sn，得b1?2?2S1，又S1=b1，所以b1=
2，由3bn=2-2Sn????????①
得bn?1?2?2Sn?1????????????????????②
，∴?bn?是以
②-①得bn?1?bn??2bn?1，∴
2为首项，以3121n为公比的等比数列，所以bn=·()。 333（
2
）
∵
?an?为等差数列，∴
d?a7?a5?37?5，∴
从而
∴Tn?2[2
1111?5()2?8()3??(3n?1)()n]????????????③ 333311213141n1n?1∴Tn?2[2()?5()?8()??(3n?4)()?(3n?1)()]???????④ 333333③-④得
11
=
∴
∴
（三）等比数列性质的应用 ※相关链接※
在等比数列中常用的性质主要有： （1）对于任意的正整数特别地，若
（2）对于任意正整数
有
若；
；
，则
?1?（3）若数列?an?是等比数列，则?can(c?0)?,?an??an?,??也是等比数列，若
?an?2?bn?是等比数列，则?anbn?也是等比数列；
（4）数列（5）数列
（6）等比数列的单调性
仍成等比数列； 是等比数列（q≠-1）；
12
注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。 ※例题解析※
〖例〗已知等比数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。 思路解析：由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程，应能解出a1和q关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。
解答：方法一：利用等比数列的性质。由已知a1?a2??an?2，
an?1?an?2?(a1?a2??a2n?a2n?1?a2n?2??an),(an?1?an?2?a3n?12.注意到
a3n),(a3n?1?a3n?2?a3n?3??a4n),?a2n),(a2n?1?a2n?2?也成等比数列,其公比为qn,于是,问题转化为已知:
A1?2,A1qn?A1q2n?12,要求A1q3n?A1q4n+A1q5n的值,由A1?2,A1qn?A1q2n?12,得q2n?qn?6?0，则qn?2或qn??3，由A1q3n?A1q4n+A1q5nn?A1q3（1+qn?q2n）=2q3nn?112q?2?3n7?14q??.n???378q??3
方法二:利用求和公式. 如
果
公
比
q=1,
则
由
于
a1?a2??an?2,可知
an?1?an?2??a2n??a2n1不n符,∴??a4?件a?q≠1,由求和公式,得n,2与条
a1(1?qn)?2????????????????①
1?qa1qn(1?q2n)?12??????????????????????????② 又
1?q②式除以①式得q(1?q)?6,?q的
nn2n?qn?6,解得qn?2或qn??3，又再往后3n项
和
为
13
a1q3n(1?q3n)??????????????????????????????③ S?1?q?qn?2S?1123nn2n3n③式除以①式得?q(1?q?q),?S?14q??。 n2q??3???378【感悟高考真题】
1.（2010浙江理数）（3）设Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则（A）11 （B）5 （C）?8 （D）?11
解析：解析：通过8a2?a5?0，设公比为q，将该式转化为8a2?a2q?0，解得q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题
2.（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么
3S5? S2a1?a2?...?a7?
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a3?a4?a5?3a4?12,a4?4,?a1?a2??a7?7(a1?a7)?7a4?282
S3.（2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，n为其前n项和。已知a2a4=1,
S3?7,则S5?
17153133（A）2 (B)4 (C)4 (D)2
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
24aq?1，因此1【解析】由a2a4=1可得
a1?12q2，又因为S3?a1(1?q?q)?7，联力两式
14
4?(1?S5?111(?3)(?2)?0q有q，所以q=2,所以
1)25?31141?2，故选B。
4. （2010辽宁文数）（14）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3?3，S6?24，则
a9? 。
3?2?S?3a?d?31??a??1?32解析：填15. ?,解得?1，?a9?a1?8d?15.
6?5d?2??S?6a?d?2461?2?5. （2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比q?2，Sn为{an}的前n项和。记
Tn?17Sn?S2n,n?N*.TTnan?1设n0为数列{n}的最大项，则0= 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
17a1[1?(2)n]a1[1?(2)2n]?1(2)2n?17(2)n?161?21?2Tn???na1(2)1?2(2)n?11616n?[(2)n??17](2)?nn(2)1?2(2)n(2)因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取
等号，所以当n0=4时Tn有最大值。
n(2)【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进
行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
6. （2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。 已知数列
?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* ?an?1?是等比数列；
?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.
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(1)证明：(2)求数列