9.(2007湖北)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
An7n?45a，则使得n为整数的正整数n的个数是（ ） ?Bnn?3bnA．2 B．3 C．4 D．5 答案 D
10．在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_ ______．
S7n?3，则
11.若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且满足n?Tnn?3a8 .
?b812．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足的值为（ ） （A）
An4n?2a?a13，则5?Bn5n?5b5?b1378197 （B） （C） （D） 9720813已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
14．已知数列{an}的通项公式为an=
1n?1?n且Sn=101?1,则n的值为（ ）
（A）98 （B）99 （C）100 （D）101
15．在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式是项数n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)88是否是数列{an}中的项.
16．（2010北京）（16）（本小题共13分） 已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。 因为a3??6,a6?0 所以??a1?2d??6 解得a1??10,d?2
?a1?5d?06
所以an??10?(n?1)?2?2n?12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2?a1?a2?a3??24,b??8
所以?8q??24 即q=3
b1(1?qn)所以{bn}的前n项和公式为Sn??4(1?3n)
1?q3、等差数列的最值：
若{an}是等差数列，求前n项和的最值时， （1）若a1>0,d>0,且满足??an?0，前n项和Sn最大；
?an?1?0?an?0（2）若a1<0,d>0，且满足?，前n项和Sn最小；
a?0?n?1（3）除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n?N?。
※例题解析※
〖例1〗在等差数列{an}中，a16?a17?a18?a9??36，其前n项和为Sn。 （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn?a1?a2?an。
?an?0思路解析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用?求解，亦可用Sn利用二次函
a?0?n?1数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵
a16?a17?a18?3a17??36,?a17??12,?d?a17?a9?3,17?9?an?3n?63?0?an?a9?(n?9)d?3n?63,an?1?3n?60，令?,得:20?n?21,
?an?1?3n?60?0
7
?S20?S21?
20?[?60?(?3)]??630，∴当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.
2（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。 ∴当n?21时，Tn??Sn??n(?60?3n?63)3123??n2?n.
222当n?21时，Tn?Sn?2S21?n(?60?3n?63)3123?2S21?n2?n?1260.222(n?21).(n?21)
?32123?n?n??22综上，Tn???3n2?123n?1260??22
变式1、已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。
〖例2〗已知数列{an}是等差数列。 （1）若am?n,an?m(m?n),求am?n; （2）若Sm?n,Sn?m(m?n),求Sm?n.
思路解析：（1）由通项公式或前n项和公式得a1和d的关系，通过解方程组求得a1和d，进而求得am?n和Sm?n。（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。
解答：设首项为a1，公差为d， （1）方法一：由am?n,an?m，得??a1?(m?1)d?n,解得a1?m?n?1,d??1.
?a1?(n?1)d?m?am?n?a1?(m?n?1)d?m?n?1?(m?n?1)?0.
方法二：由am?n,an?m，d?n?m??1 m?n∴am?n?am?(m?n?m)d?n?n?(?1)?0.
n(n?1)?n2?m2?mn?m?n?m?na1?da?????12mn,解得?. （2）方法一：由已知可得??n?ma?m(m?1)d?d??2(m?n)1???2mn? 8
?Sm?n?(m?n)a1?(m?n)(m?n?1)d??(m?n)
22?Am2?Bn?n?方法二：∵{an}是等差数列，∴可设Sn?An?Bn.则?2??An?Bm?m①-②得
①②
A(m2?n2)?B(m?n)?n?m,m?n,?A(m?n)?B??1,?Sm?n?A(m?n)2?B(m?n)??(m?n).方法三：
=∴
注：（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；（2）在应用性质：若
则
时，首先要找到项数和相
等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识。
1． 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，
求这四个数。
2． 成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数
为 。
等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n项和 （一）等比数列的判定 ※相关链接※
等比数列的判定方法有： （1）定义法：若
an?1a?q(q为非零常数)或n?q(q为非零常数且n?2)，则anan?1?an?是等比数列；
（2）中项公式法：若数列?an?中，an?0且a2n?1?anan?2(n?N?)，则数列?an?是等比数列；
（
3）通项公式法：若
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数列通项公式可写成
an?cqn(c,q均为不为0的常数，n?N?)，则数列?an?是等比数列；
（4）前
n
项和公式法：若数列
?an?的前n项和
Sn?knq?(为常数且kk?0,k，则数列?0q?an?是等比数列；
注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
※例题解析※
〖例〗在数列?an?中，a1?2,an?1?4an?3n?1,n?N?。 （1） 证明数列?an?n?是等比数列； （2） 求数列?an?的前n项和Sn；
（3） 证明不等式Sn?1?4Sn对任意n?N皆成立。 思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即
?an?1?q，对于本例（1）适当变an形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。
解答：（1）由题设an?1?4an?3n?1,得an?1?(n?1)?4(an?n),n?N?。又所以数列?an?n?是首项为1，且公比为4的等比数列。 a1?1?1,（2）由（1）可知an?n?4n?1，于是数列?an?的通项公式为an?4n?1?n。所以数列
4n?1?1n(n?1)?。 ?an?的前n项和Sn?32（3）对任意的n?N，
?4n?1?1(n?1)(n?2)4n?1n(n?1)1Sn?1?4Sn???4[?]??(3n2?n?4)?0，所
32322以不等式Sn?1?4Sn对任意n?N皆成立。
（二）等比数列的的运算 ※相关链接※
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