0?cost??2，sinx在??0,???????是增函数，所以sin??sint??sin?cost?, 2??2?即cos?sint??sin?cost?，因而t???0,????时，结论成立。
2?
1.2利用中值定理来证明积分不等式
例1：设f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导，f'?x??M而f?a??0， 求证：M?f?x?dx ??a?b?2a2b证明：由拉格朗日中值定理有：
f?x??f?x??f?a???x?a?，
f'???,a???b。
?f'?x??M?f?x??M?x?a?,
于是?f?x?dx?Mab?a?x?a?dxb?M2?b?a?2，而?2bbaf?x?dx??f?x?dx
ab故
?baf?x?dx?M2?b?a?2，即M?f?x?dx。
?a?b?2?a例2；设f?x?在?a,b?有连续函数导数，且f?a??f?b??0，设
maxf'?x??Ma?x?b，试证：?f?x?dx?abM4?b?a?2
证明：对?a,x?在上使用拉格郎日定理，有
f?x??f?a??f'??1??x?a??f'??1??x?a?,a??1?x
所以f?x??f?x??f'??1??x?a??M?x?a?
a?ba?b对上式积分?2af?x?dx??2aM?x?a?dx?M8?b?a?2???
再对?x,b?在上施以拉格郎日定理，有
f?x??f?b??f'??2??x?b???f'??2??b?x?,x??2?b
3
所以f?x??f?x??f'??2??b?x??M?b?a? 对上式积分?a?bf?x??2b?ba?b2M?b?x?dx?M8?b?a?2???
由??????得证。
总结：当已知f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导。f?a??0时，使用拉格郎日定理。f?x??f?x??f?a???x?a?f'???,a???x，再根据题意进行不等式缩放。 有时也使用积分中值定理，?f?x?dx?f????b?a?,其中a???b
ab例1：设f'?x?在?a,b?上连续，试证：
maxfa?x?b?x???b?a1baf?x?dx??baf'?x?dx
证明：由积分中值定理有
1b?a?baf?x?dx?f???,a???b
又f?x??f????f?x??f????故f?x??f?????f'?x?dx?a即证。
1.3?3?b??1xf'?x?dx?ba?bafba'?x?f'dx
?b?af?x?dx???x?dx
利用施瓦兹不等式证明积分不等式
施瓦兹不等式：若函数f?x?，g?x?在?a,b?上可积，则
?bf?x?g?x?dx??????a?2?baf2?x?dx?bag2?x?dx
2bb??例1：证明??f?x?dx???b?a??fa?a?2?x?dx
证明：取g?x??1，由施瓦兹不等式有：
?bf?x?dx??????a?
2?badx?fab2?x?dx=?b?a??abf2?x?dx
4
bb?即???f?x?dx???b?a??fa?a?22?x?dx。
b例2：已知函数f?x??0，在?a,b?上连续，?f?x?dx=1,k为任意实数。
a求证
?f?x?coskxdxab2??f?x?sinkxdxab2?1
由施瓦兹不等式，有
?f?x?coskxdxab2??baf?x???f?x?coskxdx
b?2??baf?x?dx?f?x?coskxdx?2abaf?x?coskxdx???
2同理
??f?x?sinkxdxabab2??baf?x?ba?f?x?sinkxdx
?2?baf?x?dx?f?x?sinkxdx?2?f?x?sinkxdx???
2由??????得
?f?x?coskxdxab2??f?x?sinkxdxab2?1。
1.4利用二重积分证明积分不等式
例1设函数f?x?为?0,1?上的单调减少且大于0的连续函数，
?求证：
10xf2?x?dx?10??1010f2?x?dx
xf?x?dx?f?x?dx2证明：令I??101xf?x?dx?f011?x?dx??21xf120?x?dx?f?x?dx
0211 =?xf?x?dx?f?y?dy??xf?x?dx?f?y?dy
0000=?同理I=?2I=?11001010?10xf?y?f?x??f?y??f?x??dxdy
?10yf?x?f?y??f?x??f?y??dxdy两边相加整理得
，
?f?y?f?x??x?y??f?y??f?x??dxdy?f?x??0且在?0,1?上单调减少，
5
??x?y??f?y??f?x???0
?I?0命题得证。
总结：当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明。 例2：证明施瓦兹不等式 若f?x?,g?x?在上?a,b?可积，则
??baf?x?g?x?dx????2baf2?x?dx?a??bg2?x?dx
b?b?证明：???f?x?g?x?dx???a?2?baf?x?g?x?dx?f?y?g?y?dy
a ?由不等式a2?b2?2ab知：
?bf?x?g?x?dx??????a??12??f?y?g?y?f?x?g?x?dxdyaabb
?2baf?x?g?x?dx?f?y?g?y?dy?a2b??f?y?g?y?f?x?g?x?dxdyaabb
??f?x?g?y????2bbaa??f?y?f?x??dxdy?
?bbbb1=??f2?x?dx?g2?y?dy??f2?y?dy?g2?x?dx? ?a?aaa2?a=
??bf2?x?dx?a??bg2?x?dx。
?1.5?9?利用反证法证明积分不等式
当命题只对某一个别点成立时，最好使用反证法
例1：设函数f?x?为?0,1?上连续?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1
0011求证：存在一点x当0?x?1时，使f?x??4 证明：反证法：若0?x?1时，f?x??4则
1?1??x??f?0?2??1?x?dx??10x?12f?x?dx?4?x?0112dx?1
因此f?x??4，x??0,1?,?f?x?是连续的，必有f?x??4或f?x???4
6
这与?f?x?dx?0相矛盾，
01?存在一点
x当0?x?1时，使f?x??4。
1.6利用线性变换证明积分不等式
如果问题涉及到函数f?x?在?a,b?上的均值换。 即令t?x?ab?a?b?a1baf?x?dx，那么对均值作线性变
有
1b?a?baf?x?dx??f?a??b?a?t?dt目的是将定义在不同区间上的
01两个定积分都化为区间上的定积分，统一区间后的两个定积分，就易于比较了。 例1：设f?x?为?a,b?上单调增加的可积函数，g?x??g?x??x?ab?ag?b?,a?x?b?f?t?dt,a?x?b则
ax
证明：当x?a时结论成立，只需证
1x?a?xaf?t?dt?1b?a?baf?t?dt,a?x?b，
经线性变换后，即证?f?a??x?a?u?du?01?f?a??b?a?u?du，
01由于f?x?在?a,b?上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。
1.7利用泰勒公式证明积分不等式
当被积函数有高阶导数时，又已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明
?x??a,b?，f?x??0,f''?x??0 例1：设?求证f?x??2b?a?baf?x?dx
证明：将f?x?在x处展开成一阶泰勒公式
f?x??f?t??f'?t??x?t??12f''????x?t?,?位于x与t之间
2由于f\?x??0
?f?x??f?t??f'?t??x?t?
将上式两边在?a,b?上对t积分得，
7