?b?a?f?????af?t?dt??a即?b?a?f????bbf'?t??x?t?dt
bab?baf?t?dt??x?t?f?t?/??f?t?dt
a =2?f?t?dt??x?b?f?b???x?a?f?a?
ab?2?f?t?dt??b?a?f?????b?x?f?b???x?a?f?a?
ab?f?x??0,x?a?0,b?x?0
?2?f?x?dx??b?a?f?x?
ab即f?x??
2b?a?baf?x?dx。
1.8.作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式
?思路?把不等式中所有积分上限或下限相同的字母也改为x，移项使不等式的一
端为0，则令另一端的式子为??x?，则问题转化为??x??0，则用单调性来证明不等式即可，值得说的是，题设中若仅知被积函数在某区间上连续时，一般都用此法。
例1：设f?x?在?0,1?上连续且单调减少，证明0???1时,?f?x?dx???f?x?dx
00?1证明：设??????f????1???02?0f?x?dx??f?x?dx
01?'??????f?x?dx???f????f???2??,???0,??
?f?x?单调减少， ?f????f???，
??????0,由????单调减少????????1??0
,??????1???0f??x?dx??0f?x?dx?0
101?0???1时,?f?x?dx???f?x?dx0。
1.9?12?利用概率论方法证明积分不等式
8
在概率论中，连续性随机变量的概论分布函数，数学期望与积分有一定联系，这使得用概论论思想方法证明某些积分不等式成为可能。
?1?预备知识
定理1?12?：设?为随机变量，若f?x?为连续上凸函数，则有f?E???Ef???；若f?x?为连续下凸函数，则有f?E???Ef??? 定理2?12?：?Cauchy?Schwarz不等式?若??,??是一个二维随机变量，E?2??,E?2??,则有E????2?E?2E?2
例1：证明Cauchy不等式
2若f?x?与g?x?在?a,b?上连续，则?b??f?x?g?x?????b2?a????af?x?dx??b???2??ag?x?dx???
证明：设随机变量?的概率分布F?x?及概率密度p?x?分别为
?o,x?a??F?x????x?a??b?a,x??a,b??
????1,x?b???1p?x???,x??b?a?a,b????
??0,x??a,b???则Ef2???????????f2x?px?dx?1?bb?aaf2?x?dx
Eg2????????1b2??g2?x?p?x?dxb?a?ag?x?dx
Ef???g???????x?g?x?p?x?dx?1??f?b?a?baf?x?g?x?dx
由定理2知E????2?E?2E?2，把以上各式代入即得证。 例2：证明凸函数不等式
设f?x?为在?a,b?上连续的下凸函数，则
fa?bf?a??f?b?2?1b?a?baf?x?dx?2
证明设随机变量?的概率分布F?x?及概率密度p?x?分别为
9
又
?o,x?a????x?a?F?x???,x??a,b??
?b?a????1,x?b??1?,x??a,b???p?x???b?a?
?0,x??a,b????f?x?为下凸函数，有定理1知f?E???Ef???成立
a?b2f?x?dx ?b?aa此即f?1b又x?a?fb?xb?a?b?x?ab?a,故
b?xx?a?1?x?fa??b????????f?a??b?x??f?b??x?a???b?ab?a?b?a?
将上式两端积分 ，可得
?baf?x?dx?b?a2?f?a??f?b??,综上可知原不等式成立。
总结：用概率论思想方法证明积分不等式，关键在于构造概率分布函数和概率密度函数。本节各证明过程中涉及到的随机变量都是一维连续的。如果构造适当的二维连续随机变量，还可以用概率论的方法证明许多与二重积分相关的不等式。
1.10?1?利用Gurland不等式证明积分不等式
Gurland不等式:
定理：设f?x?，g?x?是两个同向单调函数，且至少有一个连续，则
若f?x?,g?x?是两个反向单调函数，则不等式反号。 E?f?x?g?x???E?f?x??E?g?x??，
例1：设f?x?在闭区间?a,b?上连续，且单调增加，证明
?
baxf?x?dx?a?b2?baf?x?dx
证明：设X随机变量概率密度为：
10
?1?,x??a,b???p?x???b?a?
?0,x??a,b????E?xf?x???E?x??E??f1?????xf?x?p?x?dx=
b1b?a?baxf?x?dx
b?a?axdx?bab?a2f
?x?????b?a1?x?dx
由单调增加知E?xf?x???E?f?x??E?x? 代入得证：?xf?x?dx?aba?b2?baf?x?dx
例2：设f?x?在闭区间?0,1?上连续，函数f?x??0且单调减少，证明
?10xf2?x?dx?10xf?x?dx??101f2?x?dx?f?x?dx0
证明：设X随机变量概率密度为：
?f?x??,0?x?1?1?p?x????f?x?dx? 0??0,其它??E?xf?x?????????xf?x?p?x?dx=
110xf1o2?x?dx
?0f?x?dxxf?x?dx?E?x???xp?x?dx??f?x?dx????1o
E?f?x????????f?x?p?x??dx?101of2?x?dx
?f?x?dx由单调减少知E?xf?x???E?f?x??E?x?
?代入得证：
10xf2?x?dx?10xf?x?dx??101f2?x?dx?f?x?dx0。
11
第二章 一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用
2.1?10?Gronwall积分不等式的证明及其应用
?1??10? Gronwall积分不等式
定理：设k为非负常数，函数f?x?，g?x?在闭区间?a,b?上连续非负，且满足不等式f?t??k??f?s?g?s?ds,a?t?b 则f?t??kexpa特别是?k?0,有f?t??t??g?s?ds?,a?t?b，
ta?f?s?g?s?ds,a?t?b,
at推出f?t??0,a?t?b,因为f?t?非负，推出f?t??0,a?t?b
错误证法一：设R?t???fs?g?s?ds?af?t?g?t??kg?t??R?t?g?t?
t，则f?t??k?R?t?，用g?t?乘不等式的两边：
R'?t??kg?t??R?t?g?t?，?1? dR'?t??kg?t?dt?R?t?g?t?dt，?2?
用exp??g?s?ds乘以不等式的两边：
a?t?exp??g?s?dsdR'?t??exp??g?s?kg?t?dt?exp??g?s?R?t?g?t?dtaaa?t??t??t?
t??dexp??g?s?dsR?t???kd??a????t??exp??g?s?ds ??a????tt两边从a到t积分；R?t?exp??g?s?ds?k?1?exp??g?s?ds?
a?????a???并由f?t??k?R?t?,得
tt??ft?kexp?gsds?k1?exp?gsds?? ?????????a???a???t???所以
f?t??kexp??g?s?ds?,a?t?b。
a 12