总结：上述证明过程中有一个不严密的地方：不等式?2?是不正确的。这里不等式?2?是在?1?两边同乘以dt得到的。但由数学分析的知识可知，dt是t自变量的增量?t,而增量是可正可负的。直接用dt乘以在?1?的两边而保持不等号不变号不变得到?2?式的做法是错误的。 正确证法一：设R?t???fs?g?s?ds?af?t?g?t??kg?t??R?t?g?t?
t，则f?t??k?R?t?，用g?t?乘不等式的两边：
R'?t??kg?t??R?t?g?t?
用exp??g?s?ds乘以不等式的两边
a ??????exp???g?s?ds?R'?t??exp???g?s?ds?R?t?g?t??exp???g?s?ds?kg?t?
exp??g?s?dsatat?t?R'?t??exp??g?s?dskg?t??exp??g?s?dsR?t?g?t?atataatttt????R?t?exp??g?s?ds??kexp??g?s?ds????aa??????'??'
tt两边从a到t积分, ?R?t?exp??g?s?ds??k?1?exp??g?s?ds?
???a??????a???所以f?t??kexp??g?s?ds?,a?t?b
ta错误证法二：由条件不等式得：
f?t?g?t?k?ta?f?s?g?s?ds?g?t?,???
两边从a到t积分,得Ink??f?s?g?s??Ink?a由上式不等式和条件不等式，得f?t??kexpta?t??g?s?ds
at??g?s?ds?,a?t?b
t总结：上述证明过程中有一个不严密的地方：不等式???是不正确的。因Gronwall不等式条件中要求k?o, f?t??0,g?t??0,这样就不能保证k??f?s?g?s?ds是
a不恒为0的。 正确证法二：
13
当k>0时，由条件不等式得：
f?t?g?t?k?ta?f?s?g?s?ds?g?t?,???
两边从a到t积分,得Ink??f?s?g?s?ds?Ink?a由上式不等式和条件不等式，得f?t??kexp当k=0时，条件这时不等式变为f?t??tta?t??g?s?ds
at??g?s?ds?,a?t?b
?f?s?g?s?ds,结论变为f?t??0,a?t?b
at事实上，???0,成立f?t?????f?s?g?s?ds,
a从而
f?t???exp??g?s?ds?,a?t?b
ta而由?任意性可知f?t??0,a?t?b 综上f?t??kexp??g?s?ds?,a?t?b
ta例1：利用Gronwall积分不等式证明一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性部分。
?x,?t??f?t,x?已知初值函数?有解，证明其解唯一。 ?x?t??x00?证明：初值问题的等价积分方程是x?t??x0??f?s.x?ds
0t设??t?是初值问题的解，假若还有另一解??t?，则因
??t??x0??f?s,??s??ds
0t??t??x0??f?s,??s??ds
0t有??t????t???f?s,??s???f?s,??s??ds
0t ??t0L??s????s?ds
其中L?0为Lipschitz常数。
t?由定理有??t????t??0exp???Lds??? ?0??b?t0?s?t0?h,h?min?a,?,M?maxf?t,x??m?
14
即??t????t??0
即：??t????t?，t0?t?t0?h
同理可证：??t????t?，t0?h?t?t0证毕。
2.2对某积分不等式的一个推广
参考文献?16?有结论：设函数f?x?在区间?0,1?上严格增加，n等份将区间?0,1?，取?k?knn，则有不等式?k?1?k?1f????n?n?10f?x?dx。
推广定理：设函数f?x?在区间?a,b?上严格增加，将区间?a,b?n等分，取
?k?nk?b?n?a，则有
b?k?1??b?a?k?b?af??a??nn??n?f?x?dx
a证明：设S?n???k?1??b?a?k?b?af??a?，是函数f?x?在区间?a,b?上关于等n份
n??n分法的上和，f?x?在区间?a,b?上严格增加, 于是就有
S?n???baf?x?dx
现证式S?n??列?S?nk??，
?baf?x?dx中等式不成立，为此我们证明存在数列?S?n??的一个子
使?S?nk??严格减少于?f?x?dx，若能如此，则有S?n??ab?f?x?dx
ab考虑子列?S?2n??，由于f?x?在上?a,b?严格增加，对每个1?k?2n由
a??2k?1??b?a?2n?1?a?k?b?a?2n，就有
?2k?1??b?a??k?b?a????f?a??fa???? n?1n22???? 15
此时S?2n?????k?1?2n?12n?k?1k?b?a??b?a?f?a???nn22????k?b?a??k?b?a????b?a?? fa??fa????????nnn?1222?????k?1?2n2n??2k?1??b?a???2k?b?a????b?a?? f?a??fa?????n?1n?1n?122?????2=S?2n?1?
??k?1k?b?a??b?a?f?a??n?1n?12??2可见子列?S?2n??严格减少由Darboux定理得
limS?2n???n???f?x?dx
?01由于S?n???baf?x?dx且有?S?n??的一个子列?S?nk??，
bn?b?a?k?b?a?a??S?nk??严格减少于?af?x?dx，所以?f???n??nk?1?f?x?dx。
01推论1：设函数f?x?在区间?a,b?上严格增加，将区间?a,b?n等分， 取?k?n?k?1??b?a?n，则有不等式
b?k?1??b?a??k?1??b?af??a??n??n?f?x?dx。
a推论2：设函数f?x?在区间?a,b?上严格减少，将区间?a,b?n等分 取?k?n?k?1??b?a?n，则有不等式
b?k?1??b?a??k?1??b?af??a??n??n?f?x?dx。
a推论3：设函数f?x?在区间?a,b?上严格减少，将区间?a,b?n等分
?k?k?b?a?nn，则?k?1??b?a?k?b?af??a??nn???f?x?dx。
ab
2.3数值积分不等式
16
参考文献?1?有结论：令?n??10f?x?dx??nk?11n?k?f??，若若?n?f在区间?0,1?内可微
且当0 ?n?Mn。 推广定理：令?n??baf?x?dx?b?ann?k?1?k?b?a??f??a? n??若f在区间?a,b?内可微，且当a ?n?Mn?b?a? 2证明：令Ek???an?k?1??b?a?nk?b?a?f?x?dx??ab?an?k?b?a??f??,k?1.2......n n??由积分中值定理，存在?k，使得 ??an?k?1??b?a?nk?b?a??af?x?dx?b?anf??k?,?k?1??b?a?n?a??k?k?b?a?n?a 又由微分中值定理有，存在?k，使得 k?b?a???k?b?a???k?b?a?f??k??f??f'???????， ???kk?k?knnn????所以Ek?M?b?a?nn22 2从而?n? 2.4?1??k?1Ek?M?b?a?n。 Steffensen不等式 ： 定理：设f?x?,g?x?在?a,b?上可积，f在?a,b?上单调减少，0?g?x??1,式中 ?bag?x?dx?c b则：?b?cf?x?dx??f?x?g?x?dx?ab?a?caf?x?dx。 17