（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；
（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OC∥AD，
∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AD⊥ED；
（2）解：OC交BF于H，如图， ∵AB为直径， ∴∠AFB=90°，
易得四边形CDFH为矩形， ∴FH=CD=4，∠CHF=90°， ∴OH⊥BF， ∴BH=FH=4，
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∴BF=8，
在Rt△ABF中，AB=∴⊙O的半径为
．
=
=2
，
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
22．（9.00分）如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）将AB所在直线的解析式求出，利用直线AP与AB垂直的关系求出直线AP的斜率k，再求直线AP的解析式，求直线AP与x轴交点，求点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积． 【解答】解：（1）由题意得，
，解得
，
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∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x， 令y=0，得x2﹣2x=0，解得x=0或2， 结合图象知，A的坐标为（2，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤2； （2）设直线AB的解析式为y=mx+n， 则
，解得
，
∴y=3x﹣6，
设直线AP的解析式为y=kx+c， ∵PA⊥BA，∴k=则有
，
，解得c=，
∴，解得或，
∴点P的坐标为（∴△PAB的面积=|﹣|
）， |×|
|﹣×|
．
|×﹣×|﹣
|×
|﹣×|2﹣1|×|0﹣（﹣3）|=
【点评】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
23．（12.00分）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．
（1）求证：AD2=DP?PC；
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（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由； （3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若
=，求
的值．
【分析】（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2=AG?GB，即AD2=DP?PC；
（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形； （3）由于
=，可设DP=1，AD=2，由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，从而
求出GB=PC=4，AB=AG+GB=5，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得∴
，
，从而可求出EF=AF﹣AE=
AC﹣
=AC，从而可得==．
【解答】解：（1）过点P作PG⊥AB于点G， ∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形， ∴AD=PG，DP=AG，GB=PC ∵∠APB=90°，
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°， ∴∠APG=∠PBG， ∴△APG∽△PBG， ∴
，
∴PG2=AG?GB， 即AD2=DP?PC； （2）∵DP∥AB， ∴∠DPA=∠PAM，
由题意可知：∠DPA=∠APM， ∴∠PAM=∠APM，
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∵∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM， 即∠ABP=∠MPB ∴AM=PM，PM=MB， ∴PM=MB，
又易证四边形PMBN是平行四边形， ∴四边形PMBN是菱形； （3）由于
=，
可设DP=1，AD=2，
由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2， ∵PG2=AG?GB， ∴4=1?GB， ∴GB=PC=4， AB=AG+GB=5， ∵CP∥AB， ∴△PCF∽△BAF， ∴∴
=
=， ，
又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB= ∴
=
==
∴，
=
AC，
∴EF=AF﹣AE=AC﹣
∴==
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【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
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