?????????N，点P满足NP?2NM。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 【答案】(1) x2?y2?2。 (2)证明略。 【解析】
????????（2）由题意知F??1,0?。设Q??3,t?,P?m,n?,则
????????????????OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn，????????OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?。
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????????2222由OP?PQ?1得?3m?m?tn?n?1，又由（1）知m?n?2，故
3?3m?tn?0。
????????????????所以OQ?PF?0，即OQ?PF。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过
C的左焦点F。
【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。 (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。 (4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。 学优高考网
2x2y214.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1?a?b?0?的离心率为，焦距
2ab为2.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
3交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且2（Ⅱ）如图，动直线l：y?k1x?k1k2?2，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB?2:3，?M的半径为MC，OS,OT是?M的两条4切线，切点分别为S,T.求?SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.
x2【答案】（I）?y2?1.
2（Ⅱ）?SOT的最大值为
2?，取得最大值时直线l的斜率为k1??. 23?x2?y2?1,??2（Ⅱ）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，联立方程?
?y?kx?3,1??2得4k12?2x2?43k1x?1?0，由题意知??0，且x1?x2???23k11， ,xx??12222k1?12?2k1?1?所以 AB?1?k21x1?x2?21?k121?8k122k12?1.
22221?k11?8k1由题意可知圆M的半径r为r? 232k1?1由题设知k1k2?222x. ，所以k2?因此直线OC的方程为y?44k14k1?x22??y?1,1?8k128k121?22222,y?联立方程?得x?，因此 OC?x?y?. 2221?4k1?4k21?4k111?y?x,?4k1?
【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用a,b,c,e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 学优高考网
15.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，
1）作直线l与抛物线C交于不2同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为y2?x，抛物线C的焦点坐标为（【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y1，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为y?2x，联立求得点B y?kx?（k?0）
x2211，0），准线方程为x??.（Ⅱ）详见解析. 44的坐标(x1,yyy2y1)，证明y1?12?2x1?0. x2x2
【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
x2y2116.【2017天津，理19】设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是
2ab抛物线y?2px(p?0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为
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