矩阵如下
?0?(V?)??Vz??Vy?T?Vz0VxVy???Vx? （2.1-3） 0??并将其称为向量V??。引入反对称阵概念后，两向量之间叉乘?VxVyVz??的反对称阵（或斜对称阵）
运算可等价表示为前一向量的反对称阵与后一向量之间的矩阵乘法运算，亦即
V1?V2?(V1?)V2 （2.1-4）
以后会看到，这一简单改写方式在许多场合会带来很大的便利。
如果V是实向量（以后在涉及反对称阵时未特别说明均作此假设），显然有
(V?)H?(V?)T??(V?) （2.1-5）
其中，右上标“H”表示Hermite转置，即共轭转置。
不难验证下式成立：
?Vy2?Vz2?VxVy?VxVz???(V?)H(V?)?(V?)(V?)H???VxVyVx2?Vz2?VyVz? （2.1-6）
??VxVz?VyVzVx2?Vy2???可见，反对称阵(V?)是正规矩阵(Normal Matrix)。根据矩阵理论知，正规矩阵可酉相似于对角阵，且不同特征值对应的特征向量两两正交。下面求解(V?)与对角阵之间的相似变换关系。
首先，计算(V?)的特征多项式
?f(?)?det[?I?(V?)]??VzVy22xVz??Vx?VyVx? （2.1-7）
??(??V)?Vz(??Vz?VxVy)?Vy(VxVz??Vy)??3?(Vx2?Vy2?Vz2)???3??2?其中，??V?Vx2?Vy2?Vz2是向量V的模值。
令特征多项式f(?)?0，可解得(V?)的三个特征值如下
?1?0,?2,3??j? （2.1-8）
??VxVzj?Vy??? （2.1-9） ?VV?j?Vyzx??22?Vx?Vy???当Vx2?Vy2?0时，不难求得与上式三个特征值相对应的单位特征向量，分别为
?Vx?11?,u?u1??Vy2,322????2(V?V)xy??Vz??而当Vx?Vy?0（甚至Vx?Vy?Vz?0）时，可选择单位正交特征向量如下
?0??1??,u?1?j? （2.1-10） u1??02,3??2?????1???0??实际上，反对称阵(V?)的复单位特征向量是不唯一的（见附录I练习题2），式（2.1-9）和（2.1-10）只给出了其中一组。
如记
U??u1u2u3?,
11
Λ?diag(?1?2?3) （2.1-11）
可验证有UHU?I，因此U是酉矩阵。
根据矩阵特征值与特征向量之间的关系，有
(V?)U?UΛ （2.1-12）
上式两边同时左乘U?1，得
Λ?U?1(V?)U （2.1-13）
至此，验证了(V?)可酉相似于对角阵，并求得了相应的相似变换矩阵U。
最后，给出反对称阵的幂方公式，如下 (V?)1??0(V?)
(V?)2?VVT??2I??0(V?)2
(V?)3?(V?)2(V?)?(VVT??2I)(V?)?VVT(V?)??2(V?)?V?01?3??2(V?)???2(V?)
(V?)4?(V?)3(V?)???2(V?)2
24?(V?)5?(V?)2(V?)3?(VVT??2I)???(V?)??(V?) ??2242(V?)6?(V?)3(V?)3?????(V?)??????(V?)????(V?)
综上，可写出通式
?(?1)(i?1)/2?i?1(V?)(V?)??(i?2)/2i?2?(V?)2?(?1)ii=1,3,5， （2.1-14）
i=2,4,6，2.1.2 反对称阵的矩阵指数函数
根据哈密顿—凯莱（Hamilton-Cayley）定理，矩阵指数函数e(V?)可以展开成(V?)的有限项级数形式，即
e(V?)(V?)i??i?0?k0I?k1(V?)?k2(V?)2 （2.1-15）
i!?其中，k0、k1和k2为待定系数。
根据式（2.1-13）和（2.1-15），有
iU?1(V?)U????(V?)????1???i?0?U??i?0?Ui!i!??ieΛ?eU?1(V?)U2?U?1e(V?)U?U?1??k0I?k1(V?)?k2(V?)??U （2.1-16）
?k0U?1U?k1U?1(V?)U?k2U?1(V?)UU?1(V?)U?k0I?k1Λ?k2Λ2上式两边矩阵都展开成元素分量形式，可得
?e?100??k0?k1?1?k2?12????20e00?????0?0e?3?0????? （2.1-17）
k0?k1?2?k2?22?2?0k0?k1?3?k2?3?将特征值式（2.1-8）代入式（2.1-17），比较两边对角线元素，可得如下方程组
?e0?k0?k0?1?j??22 即 e?k?k(j?)?k(j?)?k0?k1(j?)?k2??cos??jsin? （2.1-18） ?012???j?22e?k?k(?j?)?k(?j?)?k0?k1(j?)?k2??cos??jsin?012?从上式可解得待定系数
sin?1?cos? （2.1-19） k0?1,k1?,k2?2000??再将这些待定系数重新代回式（2.1-18），有反对称阵的矩阵函数求解公式
12
e(V?)?I?sin??(V?)?1?cos??2(V?)2 （2.1-20）
实际上，若直接将式（2.1-14）代入式（2.1-15）的求和符号中，亦可求得上式，即
i?(V?)1111(V?)e??i?0?(V?)0?(V?)1?(V?)2?(V?)3?(V?)4?i!1!2!3!4!1111?1??1??(V?)0??(V?)1?(V?)3?(V?)5????(V?)2?(V?)4?(V?)6??3!5!4!6!?1!??2!? （2.1-21）
?1?2?4?(V?)??(V?)?(V?)?(V?)?3!5!?1!sin?1?cos??I?(V?)?(V?)220??1?2?4222???2!(V?)?4!(V?)?6!(V?)????????此外，在式（2.1-16）中有eΛ?U?1e(V?)U，据此可得
?1?2e(V?)U?UeΛ??eueu21?e?3u3?? （2.1-22）
对比上式与式（2.1-12），可知e(V?)与反对称阵(V?)具有相同的特征向量，它们均为矩阵U的列向量；并且矩阵函数e(V?)与对角阵e具有相同的特征值，分别为 ??1??e?1?e0?1???e?2?ej??cos??jsin? （2.1-23） ??2???3?j???e?e?cos??jsin?3?根据以上特征值，易知有(eΛ)HeΛ?I成立，所以e是酉矩阵。由于多个酉矩阵之乘积仍然是酉矩阵，可知e(V?)?UeΛU?1也是酉矩阵；此外，式（2.1-20）表明，若V是实向量则e(V?)是实矩阵，所以e(V?)必定是单位正交阵，这一点亦可证明如下：
TΛΛ??e(V?)??e(V?)sin?1?cos??2???I?(V?)?(V?)?e(V?)2?????sin?1?cos??2T?(V?)????I?(V?)T?(V?) （2.1-24） 2???e????sin?1?cos??2?(V?)??I?(?V?)T?(?V?)e2??????e(?V?)e(V?)?IT值得指出的是，由于det(e(V?))?etr(V?)?e0?1，所以，在所有三阶单位正交阵中只有行列式为1者才可以表示成e(V?)的形式，事实上，行列式为1的单位正交阵可称为右手直角坐标变换矩阵（反之，行列式为-1者可称为左手矩阵）。
2.2方向余弦阵与等效旋转矢量
2.2.1 方向余弦阵
若用ib,jb,kb分别表示直角坐标系oxbybzb（b系）坐标轴上的单位矢量，而用ii,ji,ki表示oxiyizi（i系）坐标轴向的单位矢量，则ib,jb,kb可分别用ii,ji,ki表示为： ?ib?(ib?ii)ii?(ib?ji)ji?(ib?ki)ki??jb?(jb?ii)ii?(jb?ji)ji?(jb?ki)ki （2.2-1） ?k?(k?i)i?(k?j)j?(k?k)kbiibiibii?b实际上，上式表示的正是两直角坐标系之间的基变换公式，将其改写成矩阵的方式，如下
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?ibjbkb???iiji?ib?iiki???ib?ji??ib?kijb?iijb?jijb?kikb?ii?kb?ji????iikb?ki??jiki?P （2.2-2）
其中，P为从i系到b系的过渡矩阵（或称从i系到b系的坐标系/基变换矩阵），即
?ib?iijb?iikb?ii?? （2.2-3） P???ib?jijb?jikb?ji???ib?kijb?kikb?ki??假设有一个三维矢量V，它在i系和b系下的投影坐标分别为 ?Vxi??Vxb?????Vi??Vyi? 和 Vb??Vyb?
?Vzb??Vzi?????若用投影表示法，则有
V?Vxiii?Vyiji?Vziki?Vxbib?Vybjb?Vzbkb （2.2-4）
而若用坐标表示法，则有
?iiji?Vxi???ki??Vyi???ib?Vzi???jb?Vxb???kb??Vyb? （2.2-5） ?Vzb????Vxb???ki?P?Vyb? （2.2-6）
?Vzb???将式（2.2-2）代入式（2.2-5）的右端，可得
?Vxi?i?V?iijiki???y???ii?Vzi???从而有
ji?Vxi??Vxb?i?i??b? 即 Vi?PVb?CV b （2.2-7） V?PVb?y??y?i?Vz??Vzb?????i其中，记Cb。 ?P为从b系到i系的坐标变换矩阵，也就是从i系到b系的坐标系变换矩阵（或过渡矩阵）
从几何含义上，不难验证过渡矩阵P是单位正交阵（即有PTP?I），比如对于式（2.2-3）中的第一行向量?ib?iijb?iikb?ii?，它表示ii在b系的投影，可记为(ii)b，显然有(ii)b?ii?1，而第一行向
jb?iikb?ii??ib?jijb?jikb?ji??(ii)b?(ji)b?ii?ji?0
量与第二行向量点乘为
?ib?ii同理，可验证P中任一行向量为单位向量，且任意两个不同行向量之间正交。
i由于矩阵Cb?P中的每一个元素均表示两套坐标系（b系和i系）相应坐标轴之间夹角的余弦值，
os(比如ib?ji表示坐标轴oxb与oyi之间夹角的余弦值，即ccosine matrix, DCM）。
?xb)oyi，因此常称Cbi为方向余弦阵（direction
2.2.2 等效旋转矢量
参见图2.2-1，三维空间中的某矢量r绕另一单位矢量u转动?（设??0）角度，得矢量r?，以下求解转动前后两矢量r与r?之间的几何运算关系。
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r??(u?r)?uO?AA'r??r?u?rr?Br?r??(r?u)uuO图2.2-1 等效旋转矢量
不妨假设矢量r和单位矢量u具有共同的起始点O，记r的矢端A在u上的投影为O?。若以O?为圆心、O?A为半径作圆，则r?的矢端A?也在该圆周上。在圆上取一点B使得O?B?O?A，则有
O?B?u?r （2.2-8）
转动前的矢量r相对于单位矢量u可分解为平行于u的分量r和垂直于u的分量r?，如下
r?OO??O?A 即 r?r?r? （2.2-9） 其中
r?(r?u)u （2.2-10）
r??O?B?u?(u?r)?u （2.2-11）
?，如下 同理，转动后的矢量r?相对于u也可以分解为平行分量r?和垂直分量r? （2.2-12） r??OO??O?A? 即 r??r??r??其中
r??r （2.2-13）
??O?Acos??O?Bsin??(u?r)?ucos??u?rsin? （2.2-14） r?至此，将式（2.2-10）和式（2.2-14）代入式（2.2-12），可详细展开为
r??(r?u)u?(u?r)?ucos??u?rsin? （2.2-15） 此外，由附录A三重矢积公式（A-3），即(V?V3)V?V?(V?V3)??2V3，可得
2(r?u)u?(u?r)u?u?(u?r)?ur???I?(u?)??r （2.2-16）
2将式（2.2-16）代入式（2.2-15），得
22?r???I?(u?)r?(u?)rcos??u?rsin???2???I?sin?(u?)?(1?cos?)(u?)??r （2.2-17）
?Dr其中记
D?I?sin?(u?)?(1?cos?)(u?)2 （2.2-18）
式（2.2-17）称为罗德里格（Rodrigues）旋转公式，它建立了转动前后两矢量r与r?之间的线性变换关系，该变换是转轴u及转角?的函数。
直角坐标系上存在三个坐标轴向单位矢量，也可对它们实施旋转操作。假设有动坐标系b系与参考坐标系i系，两坐标系在起始时刻重合，接着b系相对于i系作定轴转动，即绕通过原点的单位矢量u转动了?角，也就是说，i系坐标轴的单位矢量ii,ji,ki绕u转动?角得到b系坐标轴的单位矢量ib,jb,kb。根据式（2.2-18），可得两坐标轴单位矢量之间的变换关系
?ib?Dii??jb?Dji （2.2-19） ?k?Dki?b
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