PQ?(p0?p1i?p2j?p3k)(q0?q1i?q2j?q3k)?(p0q0?p1q1?p2q2?p3q3)?(p0q1?p1q0?p2q3?p3q2)i （2.4-6）
?(p0q2?p2q0?p3q1?p1q3)j?(p0q3?p3q0?p1q2?p2q1)k特别地，两个零标量四元数相乘，可得
pvqv?(?p1q1?p2q2?p3q3)?(p2q3?p3q2)i?(p3q1?p1q3)j?(p1q2?p2q1)k??pq?pv?qvTvv （2.4-7）
这是零标量四元数乘法运算规则与三维矢量运算规则之间的关系，上式右边同时包含了矢量的点乘运算和叉乘运算。实际上，运算规则式（2.4-2a）可视为式（2.4-7）应用于坐标轴单位矢量的特殊情形。
若采用三维矢量运算表示法，四元数乘法可表示为
PQ?(p0?pv)(q0?qv)?p0q0?p0qv?q0pv?pvqv?(p0q0?pq)?(p0qv?q0pv?pv?qv)Tvv （2.4-8）
在式（2.4-7）中，由于矢量叉乘pv?qv不满足交换律，因而四元数乘法也不满足交换律，即一般情况下PQ?QP；当且仅当pv?qv?qv?pv，即两个四元数的虚部矢量相互平行（包括零矢量）时，才有PQ?QP。容易验证，四元数乘法运算满足结合律(PQ)S?P(QS)，且乘法对加法满足分配律(P?Q)S?PS?QS和S(P?Q)?SP?SQ。可见，四元数乘法运算律与矩阵乘法是完全一致的。
若采用矩阵表示法，四元数乘法式（2.4-6）还可写成
?p0?p1?p2?p3??q0??q0?q1?q2?q3??p0??p?q??q?p?p0?p3p2?q0q3?q2?11?1??????1??M?P （2.4-9a） PQ??MPQ?Q?p2p3?q2?q3q0p0?p1??q2?q1??p2?????????p?pppqqq?qq210??3?210??p3??3?3或者
TTT?p0??q0??q0??p0????pv?qvp0q0?pvqvPQ????????????? （2.4-9b）
qp?pvp0I?(pv?)??v??qvq0I?(qv?)??v??p0qv?q0pv?pv?qv?其中
?p3?Tp2?? （2.4-10a） p0?pv?????p3p0?p1??pvp0I?(pv?)???p2p1p0??q0?q1?q2?q3??q??Tqq?q? （2.4-10b） q0?qv1032????MQ????q2?q3q0q1??qvq0I?(qv?)????q3q2?q1q0?为了简写方便，可定义三维向量的两种四维反对称阵，分别如下
?0?p1?p2?p3??p??T0?pp? （2.4-11a） 0?pv132??(pv?)1?????p2p30?p1??pv(pv?)???p10??p3?p2?0?p1?p2?p3??p??T0p?p? （2.4-11b） 0?pv132??(pv?)2?????p2?p30p1??pv?(pv?)???0??p3p2?p1?p0?pMP??1?p2??p3?p1p0?p2?p3(pv?)1、(pv?)2分别称为第一和第二反对称阵，如果省略右下标“1”和“2”则默认为第一反对称阵。根
21
据上述反对称阵定义，式（2.4-10）可简写为
??q0I?(qv?)2 （2.4-12） MP?p0I?(pv?)1 和 MQ四元数Q的共轭（转置）四元数定义为
Q*?q0?qv?q0?q1i?q2j?q3k （2.4-13）
两个四元数之和（或乘积）的共轭满足如下运算规则
(P?Q)*?P*?Q* （2.4-14a） (PQ)*?Q*P* （2.4-14b）
式（2.4-14a）显然成立；而采用乘法式（2.4-9b）容易验证式（2.4-14b）成立，即
TT??p0??q0?????pvp0q0?pvqv*(PQ)??????? ??ppI?(p?)???0v??qv????(q0pv?p0qv?pv?qv)???vTT?q0??p0???qvp0q0?pvqv**QP??????? ???qvq0I?(qv?)???pv???p0qv?q0pv?pv?qv?四元数Q的模值（2-范数）定义为
*222 （2.4-15） Q?Q*Q?QQ*?q0?q12?q2?q3模值表示四元数在四维空间中的矢量长度。虽然一般情况下PQ?QP，但可以证明总有
PQ?QP?P?Q成立，即
PQ?(PQ)(PQ)*?(PQ)(Q*P*)?P(QQ*)P*?(PP*)(QQ*)?P?Q对于非零四元数，即当Q?0时，有
（2.4-16）
Q*Q22Q?QQ*Q2?1 （2.4-17）
因此，可以定义Q*/Q为非零四元数Q的逆，记作
Q* （2.4-18） Q?2Q?1两个非零四元数之乘积的逆满足运算规则：(PQ)?1?Q?1P?1，验证如下
(PQ)??1(PQ)*PQ2?(Q)*(P)*P2Q2?(Q)*(P)*Q2P2?Q?1P?1 （2.4-19）
该运算规则与两矩阵乘积之逆也完全一致。
?/Q?为四元数的归一化操作，归一化的四元数也称单位四元数，满足??0，则称运算Q?Q如果QQ?1。显然，单位四元数的共轭与其逆相等，即有Q?1?Q*；两个单位四元数之乘积仍然是单位四元
数，即如有P?1且Q?1，则必有PQ?P?Q?1。
类比于复数的三角表示法，四元数也可以表示为三角函数的形式
Q?Q(cos?usin) （2.4-20）
22特别地，当Q?1时，即对于单位四元数，有
Q?q0?qv?cos?usin （2.4-21）
222T其中，q0?cos，qv?usin且q0?qvqv?1；u为单位长度的三维矢量，即uTu?1；?表示某种角度
22值，后面将看到它的含义。
??????通过前面的介绍不难发现，四元数的乘法不满足交换律、共轭及求逆等运算规律与矩阵的相应运算
22
规律几乎完全一致，这似乎暗示着四元数与矩阵之间存在很强的内在联系。以下说明四元数三角表示法的几何意义。
根据方向余弦阵式（2.2-22）进行恒等变形，可得
iCb?I?sin?(u?)?(1?cos?)(u?)2?I?2sincos(u?)?2sin2(u?)2 （2.4-22）
222?I?2cos(sinu?)?2(sinu?)2222其中，?u为等效旋转矢量。将式（2.4-21）的实部q0和虚部qv代入式（2.4-22），可得
iCb?I?2q0(qv?)?2(qv?)2???????0?q3q2??0?q3q2???2?q??I?2q0?q0?q0?q3131??????0?0???q2q1???q2q1?22?1?2(q2?q3)2(q1q2?q0q3)2(q1q3?q0q2)???2??2(q1q2?q0q3)1?2(q12?q3)2(q2q3?q0q1)?2??2(q1q3?q0q2)2(q2q3?q0q1)1?2(q12?q2)??222?q0?q12?q2?q3???2(q1q2?q0q3)?2(q1q3?q0q2)?2 （2.4-23）
2(q1q2?q0q3)222q0?q12?q2?q32(q2q3?q0q1)2(q1q3?q0q2)??2(q2q3?q0q1)?222?q0?q12?q2?q3?上式建立了单位四元数与方向余弦阵之间的关系，并且表明了单位四元数三角表示法式（2.4-21）的几
i何意义。为了更明确地表示两坐标系之间的转动变换关系，常在四元数的右边加上上下角标，写成Qb，
则式（2.4-21）中u表示动坐标系（b系）相对于参考坐标系（i系）旋转的单位转轴、?表示旋转角度
i*iT大小。使用角标后，共轭四元数可记为Qib?(Qb)，这与矩阵转置的表示方法类似，比如Cib?(Cb)。
2.4.2 四元数微分方程
假设有一个三维矢量r，它在动坐标系（b系）和参考坐标系（i系）中的投影坐标分别为
brb???rxrybiirzb??和r???rxTryiiQbrbQib?MQi(rbbb，现对矢量（视为零标量四元数）实施如下四元数乘法操作 rrzi???0??0??b?b?)?MQiMQ?b?b?Qib)?MQi(MQbibi?r??r?T?q0?q??1?q2??q3?q1q0q3?q2?q2?q3q0q1?q3??q0??qq2???1?q1???q2??q0???q3q1q0q3?q2q2?q3q0q1q3??0??b?q2???rx??q1??ryb????q0??rzb?0??0??b?2(q1q3?q0q2)???rx?2(q2q3?q0q1)??ryb?222??b?q0?q12?q2?q3??rz? （2.4-24）
0?1?0q2?q2?q2?q20123???02(q1q2?q0q3)??02(q1q3?q0q2)02(q1q2?q0q3)222q0?q12?q2?q32(q2q3?q0q1)不难发现，上式右边矩阵中的右下角三阶对角分块矩阵恰好与式（2.4-23）一致，因而上式可简写为
?10??0??0??0?iQbrbQib????ib???i? （2.4-25） i??b?0Cb??r???Cbr??r?ibi这表明，Qbr。为了rbQib的结果也是一个零标量四元数，其虚部正好对应于姿态阵坐标变换ri?Cb书写简洁，类似于矩阵的坐标变换表达习惯，可定义四元数与三维矢量的乘法运算，即四元数坐标变换公式，如下
23
iri?Qb?rb （2.4-26）
i式中，乘法算符“?”的含义本质上是先进行四元数乘法运算QbrbQib，再提取结果中的虚部（即矢量
部分）。
i由式（2.4-25）两边同时右乘Qb，可得
ii （2.4-27） Qbrb?riQbb假设矢量r是i系中的固定矢量，即ri为常值矢量，并假设b系绕i系转动角速度为ωib，则Qbi和rb都是b时变量。在b系中观察矢量r，其相对于b系的角速度为?ωib。将式（2.4-27）两边同时微分，考虑到ri?0，
可得
iii （2.4-28） Qbrb?Qbrb?riQbbbb由于ωib，可得 ?rb??ωibrb，将其及式（2.4-25）一起代入式（2.4-28）?rb，从而有rb??ωibiibii （2.4-29） Qbrb?Qb(ωibrb)?(QbrbQib)Qb再将上式两边同时左乘Qib，移项得
iib(QibQb)rb?rb(QibQb)?ωibrb （2.4-30）
上式写成矩阵形式，为
0?0??0??00??0??0? 即 （2.4-31） ?????bi?b??rb?b?b????r??0(ωib?)??r?????02?(QiQb)v????由于r可为任意固定矢量，类似于式（2.3-3），有
1bbibbi 即 ?2?(QQ)??(ω?)(QQ)?ωib （2.4-32） bv?ibibv?i2i另一方面，四元数Qb及其微分可分别写成
?Mb?(Qi?0????M?MωbiiQb)(QibQb)??b?ibr?????????cos?sin????222ii 和 ?? （2.4-33） Qb??Qb???b????ubsin??b?usin?ucosibibib????2??222??i根据上述表达式，直接计算QibQb，得 Qib???cos?2?iQb??????ubsin?ib??2???????sin??22???b???b?usin?ucosibib??222????????Tb??bb??sincos?(usin)(usin?ucos)ibibib??（2.4-34）
2222222?????b?????????b?bbbb?cos(usin?ucos)?usin?sin?(usin)?(usin?ucos)ibibibibibib??22222222222??0??0???1???b?bbbb?ucos?sin??ub??ubsin??ubsin??2?u??usin??u?u(1?cos?)ibibibib??ibibibib??22222??i由上式可见，QibQb的标量部分恒为零，因此，由式（2.4-32）可得
iQibQb?1?0? 即 i1ib （2.4-35） Qb?Qbωib?b?22?ωib?这便是四元数微分方程，它建立了变换四元数与坐标系旋转角速度之间的关系。与矩阵微分方程式（2.3-6）类似，容易证明以下四种四元数微分方程之间是相互等价的
1i1i1bibiiQb?Qbωib,Qb?ωibQb,Qib?ωbiQib,222
24
1i Qib?Qibωib2最后，比较式（2.4-32）和式（2.4-34）右端的矢量部分，可得
bbbbbωib?uib??uibsin??uib?uib(1?cos?) （2.4-36）
这是推导等效旋转矢量微分方程的基本公式，将在后续2.5.1小节进一步介绍。实际上，根据方向余弦
iiibb阵微分方程Cb用等效旋转矢量?uib展开，也可推得上式?Cb(ωib?)，并类比于式（2.4-34）将CibCb（2.4-36）。
2.4.3 四元数微分方程的求解
将四元数微分方程（2.4-35）写成矩阵形式，为
1?(t)Q(t) （2.4-37） Q(t)?Mω2为表示简洁，这里暂且省略Q和ω角标，但明确给出了时间参数。如果角速度ω(t)（即系数矩阵
?(t)）是时变的，类似于方向余弦阵微分方程（2.3-7）的求解，只有在时间段t,??[0,T]内满足定轴转Mω动条件?ω(t)???ω(?)????ω(?)???ω(t)??时，等价于
?(t)Mω?(?)?Mω?(?)Mω?(t) （2.4-38） Mω才能求得闭合解
Q(T)?e其中
1Θ(T)2Q(0) （2.4-39）
??x(T)??y(T)??z(T)??0??(T)?0?(T)??(T)Txzy???θ(T)?? （2.4-40） ?(t)dt??Θ(T)??Mω20??y(T)??z(T)0?x(T)????(T)?(T)??(T)0??yx?z?θ(T)????x(T)?y(T)?z(T)????ω(t)dt （2.4-41）
0TTθ(T)为时间段[0,T]内的角增量，?(T)?θ(T)是其模值。
为了计算式（2.4-39）中的指数函数e和?(T)分别简记为Θ和?）
1Θ(T)2，先求解反对称阵Θ(T)的各次幂，有（省略时间参数，Θ(T)Θ2???2IΘ3?Θ2Θ???2ΘΘ4?Θ3Θ???2ΘΘ??4I Θ5?Θ4Θ??4Θ所以，有
25