坐标原点选在地心，OZe轴为自转轴且指向北极，OXe轴指向赤道与本初子午线的交点，OYe轴在赤道平面内且指向90°经线，ECEF系与地球固联，即跟随地球自转一起相对惯性空间转动。对子午圈椭圆，不失一般性，选择本初子午线椭圆作为研究对象，如图3.1-2所示。椭圆上任一P点与地心连线PO与OXe轴的夹角称为地心纬度，记为?，取值范围-90°～90°，南纬为负北纬为正。过P点的椭圆法线PQ与OXe轴的夹角称为地理纬度，简称纬度，记为L，取值范围-90°～90°。此外，与地心纬度对应的方向PO称为地心垂线，而与地理纬度对应的方向PQ称为地理垂线。
椭圆形状完全由其长半轴和短半轴确定，但在涉及椭圆的计算中，为了方便常引入扁率和偏心率概念。
椭圆方程为
x2z2?2?1 （3.1-1） Re2Rp其中，Re和Rp分别为椭圆长半轴和短半轴。
椭圆扁率（或称椭圆度，flattening）定义为
f?椭圆偏心率（eccentricity）定义为
Re?RpRe （3.1-2）
e?第二偏心率定义为
2Re2?RpRe （3.1-3）
e??2Re2?RpRpe2 且有 e?? （3.1-4） 21?e2相对于第二偏心率而言，式（3.1-3）有时也称e为第一偏心率。
由式（3.1-2）和（3.1-3）可分别得
Rp?(1?f)Re （3.1-5）
Rp?Re1?e2 （3.1-6）
比较上述两式，可得
f?1?1?e2 和 e2?2f?f2 （3.1-7）
将椭圆方程（3.1-1）两边同时对x求导，并考虑到式（3.1-6），得
2x2z?dz/dx?2?0 （3.1-8） 22ReRe(1?e)上式移项整理得
dzx??(1?e2) （3.1-9） dxzdz表示椭圆在P点的切线PB的斜率，显然，切线PB与法线PQ之间是相互垂直的，法线PQ的斜dx率为tanL，则有
dzxtanL??(1?e2)?tanL??1 （3.1-10） dxz从上式可解得
式中
z?x(1?e2)tanL （3.1-11）
将式（3.1-6）和式（3.1-11）代入椭圆方程（3.1-1），可求得以地理纬度L为参数的椭圆参数方程
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Re?x?cosL?221?esinL? （3.1-12） ?2?z?Re(1?e)sinL?1?e2sin2L?参见图3.1-2，记线段长度PQ?RN，则有
x?RNsin?SQO?RNcosL （3.1-13）
比较式（3.1-13）和式（3.1-12）中的第一式，可得
Re （3.1-14） RN?221?esinL因而参数方程（3.1-12）可简写为
??x?RNcosL （3.1-15） ?2??z?RN(1?e)sinL最后，比较一下地球表面上同一点的地理纬度与地心纬度之间的差别，或者说，地理垂线与地心垂线之间的偏差。
对于地心纬度，注意到tan??z/x，根据式（3.1-11），有
tan??(1?e2)tanL （3.1-16）
记地理纬度与地心纬度之间的偏差量?L?L??，则有
tanL?tan?tan?L?tan(L??)?1?tanLtan??将?L和e视为小量，上式可近似为
tanL?(1?e)tanLesinLcosL?1?tanL(1?e2)tanL1?e2sin2L2222 （3.1-17）
e2(1?e2sin2L)?L?esinLcosL(1?esinL)?sin2L （3.1-18）
22或者
e2?L?sin2L?fsin2L （3.1-19）
22其中，根据式（3.1-7）近似取f?e/2。例如，若取椭球扁率f?1/298.257，则在纬度L=45°处可求得地理纬度与地心纬度的最大偏差值约为?L?11.5′。
2 旋转椭球表面的曲率半径
导航过程中，运载体在地球椭球表面附近移动，为了在合适的坐标系（通常指地理坐标系）下进行三维定位解算，旋转椭球表面的几何曲率半径是一个非常重要的参数。
首先给出法截线的概念。参见图3.1-3，包含椭球面上某P点法线PQ的平面称为法截面，法截面与子午面之间的夹角记为A，法截面与椭球的交线称为法截线。显然，当法截面包含南北极点时，法截线即为子午圈；当法截面垂直于子午面时，法截线称为卯酉圈。
ZeX'PAZ'Y'OYeQXe图3.1-3 法截线及其局部坐标系
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在图3.1-3中，不失一般性，假设P点在本初子午线上，以P为坐标原点建立局部直角坐标系
PX'Y'Z'，其中PX'轴沿法线向外，PZ'轴沿法截线切线方向。不难看出，若坐标系PX'Y'Z'先绕PX'轴转动A角度，然后绕PY'轴转动L角度，再作相应平移，则可得OXeYeZe坐标系（即地心直角坐标系）。根据椭圆参数方程（3.1-12）知P点在OXeYeZe坐标系下的坐标为??RNcosL0RN(1?e2)sinL??，此
T即前述平移的坐标值，所以PX'Y'Z'和OXeYeZe两坐标系之间的坐标变换关系为
00??x'??RNcosL??x??cosL0?sinL??1?y???0??0cosAsinA??y'???? （3.1-20） 100??????????2??z????sinL0cosL????0?sinAcosA????z'????RN(1?e)sinL??x2?y2z2将上式代入旋转椭球方程?2?1，移项整理得 2ReRpx?2?z?2?2RNz??e?2(1?e?2)(x?cosAcosL?z?sinL)2?0 （3.1-21）
由于在PX'Y'Z'局部坐标系下表示的法截线方程必有y??0，因而上式中不含y?项。
将式（3.1-21）对坐标x?求一次导和二次导，代入平面曲线的曲率计算公式，可得法截线在P点的曲率
1RA?2dz?/dx?2dz?2??1?()???dx??3/2?P?(x?,z?)?(0,0)RN （3.1-22）
1?e?2cos2Acos2L特别地，当角度A?0或π/2时，分别有
RNRN(1?e2)Re(1?e2) （3.1-23） RM?RA?0???2222223/21?e?cosL1?esinL(1?esinL)RRe （3.1-24） RA?π/2?N?221?01?esinL通常称RM?RA?0为子午圈主曲率半径；而称RN?RA?π/2为卯酉圈主曲率半径。在图3.1-2中卯酉圈曲
率半径即对应于线段PQ的长度。除在地理纬度L??π/2处有RM?RN外，其它纬度处总有RM?RN。 3 大地坐标及其变化率
在旋转椭球表面上P点处，纬圈切线与经圈切线相互垂直，且两切线同时垂直于椭球面的法线。在椭球表面上定义直角坐标系o0x0y0z0：P点为坐标原点（重记为o0），纬圈切线指东、经圈切线指北、椭球面法线指天分别为o0x0轴、o0y0轴和o0z0轴的正向。参见图3.1-4，若某点og在坐标系o0x0y0z0中的直角坐标为og(0,0,h)，显然og在椭球面P点的法线上，h称为og点的地理高度。以og为原点建立坐标系ogxgygzg，其三轴分别平行于o0x0y0z0的同名坐标轴，称ogxgygzg为当地地理坐标系，简记为g系。
og点相对于地球椭球的空间位置可用所谓的大地坐标（地理坐标）表示，记为og(?,L,h)。
vyogvxhxvy0vx0RMogP(o0)?LP(o0)LLRNQ（a）经度变化率 （b）纬度变化率
图3.1-4 速度引起的经纬度变化
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在图3.1-4中，如果o0点对地球坐标系OXeYeZe的速度在o0x0y0z0系的投影记为
o0ve??o0?v化，有
x0vy00??。注意到，o0x0轴与纬圈相切，两者在同一个平面内，因而vx0仅会引起经度的变
T??vx0x?vx0RNcosL （3.1-25）
同理，o0y0轴与经圈相切，两者在同一平面内，因而速度vy0仅会引起纬度的变化，考虑到P点所在子午圈的曲率半径为RM，则有
L?vy0RM （3.1-26）
g对于地理高度为h的og点，假设其速度为veg???vxvyvz??，根据图3.1-4中几何关系，有
Tvx （3.1-27）
RNRN?hvy0vy （3.1-28） ?RMRM?h?g上述两式分别代入式（3.1-25）和（3.1-26），并考虑到天向速度vz仅引起地理高度h变化，得速度veg与
vx0大地坐标(?,L,h)之间的关系，分别为
??vx （3.1-29）
(RN?h)cosLL?vyRM?h （3.1-30）
h?vz （3.1-31）
地理坐标系ogxgygzg与地球坐标系OXeYeZe之间的转动关系可以用方向余弦阵表示，常称之为
e位置矩阵，记为Cg。参见图3.1-5，g系先绕Z轴转动?π/2，接着绕Y轴转动?(π/2?L)，再绕Z轴转动??，这时g系三轴可与e系相应坐标轴平行。据此，可计算得位置矩阵
ZeYgZgg?e(1):Rot(Zg,?π/2)(2):Rot(Yg',?(π/2?L))\(3):Rot(Zg,??)PLXgYe?XeO图3.1-5 g系至e系的三次转动
?cos(??)sin(??)0??cos(?(π/2?L))0?sin(?(π/2?L))????eCg???sin(??)cos(??)0010?????001?????sin(?(π/2?L))0cos(?(π/2?L))?? ?cos(?π/2)sin(?π/2)0?????sin(?π/2)cos(?π/2)0???001??? 44
?cos??sin?0??sinL0cosL??0?10???0??100???sin?cos?010???????01??0????cosL0sinL????001?? （3.1-32） ??sin??sinLcos?cosLcos?????cos??sinLsin?cosLsin????cosLsinL??0?对上式两边同时微分，得
???cos??(LcosLcos???sinLsin?)?LsinLcos???cosLsin????eCg????sin??(LcosLsin???sinLcos?)?LsinLsin???cosLcos???0??LsinLLcosL?? （3.1-33）
???L??cosLcos???0??sinL?cosL?????e???sinLsin?cosLsin???sinL0L?C?cosLg???????????sinL??cosLsinL??L0????????cosL???eeg上式与方向余弦阵微分公式Cg并将经纬度公式（3.1-29）和（3.1-30）代入，分别记vx,vy?Cg(ωeg?)对比，
??sin????cos???0?sinLcos?为vE,vN，可得
?vN ω???L?cosL?sinL???????RM?hgegTvERN?h?vEtanL? （3.1-34） RN?h?T这便是载体运动线速度引起导航系旋转角速度的计算公式。 4 大地坐标与地心直角坐标之间转换
下面给出同一地点的地理坐标(?,L,h)与地心直角坐标(x,y,z)之间的相互转换关系。 （1）由(?,L,h)求解(x,y,z)
根据式（3.1-15）和图3.1-2，不难求得
?x?(R?h)cosLcos?N???y?(RN?h)cosLsin? （3.1-35） ?2?z???RN(1?e)?h??sinL?其中，子午圈曲率半径RN的计算见式（3.1-14）或重写如下
RN?Re1?esinL22 （3.1-36）
（2）由(x,y,z)求解(?,L,h)
首先，由式（3.1-35）中第二式除第一式，得
ysin? （3.1-37） ?xcos?由上式可直接解得经度
??atan2(y,x) （3.1-38）
其次，对于纬度，不能求得显式表示，通常采用迭代算法，推导过程如下： 由式（3.1-35）中第一式和第二式实施如下运算
(RN?h)cosL?x2?y2 （3.1-39）
由式（3.1-35）中第三式移项整理，可得
(RN?h)sinL?z?RNe2sinL （3.1-40）
式（3.1-40）除以式（3.1-39），得
z?RNe2sinL （3.1-41）
tanL?x2?y2
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